湍流模型（4）

 

   Prandtl混合长度模型等零方程模型都有一个共同的缺点，就是湍流粘性系数只取决于当地局部的流动参数，而与别处的流动无关。这是与实验观测不符合的。例如，在管的中心轴线上，具有时均速度梯度为零这一流动特性，按公式

算出的湍流粘性系数应该为零，但是，管中流动的实验指出，实际上这里仍能观测到涨落速度。为了弥补这一缺陷，发展出了一方程、二方程模式理论。它们假定湍流粘性系数正比于一两个参数的某次幂，而这一两个参数则由引入附加的偏微分方程在全流场联立求解，不再由局部的流场性质决定。

 

 

k-ε模型

   依照分子运动引起的粘性系数，我们可以假定涡旋粘性系数和湍流中最大漩涡的长度尺度（湍流的特征长度）和速度尺度（湍流的特征速度）的乘积成正比：

    

 设

    

由量纲分析

   

于是：

   

 

 

湍流动能方程为：

 

右边第一项：由脉动速度和脉动压强引起的湍流动能的输运。

右边第二项：分子运动引起的湍流动能的输运。

右边第三项：脉动流场的应变率克服粘性应力所做的功。

右边第四项：平均流场应变率克服湍流应力所做的功，将平均流的能量转换为产生湍流运动的能量。这也就是产生湍流应力的机理。

 

 

高阶关联项与平均量之间的关系是：

 

（1）湍流量的扩散遵循局部梯度原则，即只与该物理量当地的梯度大小成正比：

（2）

（3）生产项P

 

最后得到的k方程写成：

ε的方程为：

上面方程每一项都需要模型化，与k方程相比更复杂。经过以下模型化原则：

（1） 扩散项未知量与输运量

成正比

（2） 未知有量纲标量用

表示。

（3） 生成项未知张量由k方程生成项类比确定

 

得到耗散项ε的方程为：

模型中常数为：

 

至此，六个未知因变量Ui,P,k,ε,有六个方程中，方程终于封闭了：

这就是传说中的标准k-ε模型，它需要求解湍动能及其耗散率方程。湍动能输运方程是通过精确的方程推导得到，但耗散率方程是通过物理推理，数学上模拟相似原形方程得到的。该模型假设流动为完全湍流，分子粘性的影响可以忽略。因此，标准k-ε模型只适合完全湍流的流动过程模拟。

 

总结一下它的特性：

（1）可用于边界层型流动和分离流

（2）近壁需修正或在计算边界上用壁函数（半经验公式）作边界条件

 

 

（3）属于涡粘模型

（4）ε方程模化不确定因素多，可靠性差

（5）模型常数通用性差

（6）不能模拟强各向异性流（如矩形槽道中的二次流）

（7）不能计入涡量的影响