修订版【概览】- 微积分的本质 01

[遇见数学]根据视频内容整理文字版, 方便各位同学学习, 先来看下视频吧.

微积分是一个很广的话题, 包含了很多概念, 所以这个系列会有以下内容. 微积分有很多运算法则和公式, 往往只需要死记硬背, 例如各种求导公式, 乘积法则, 链式法则, 隐函数求导, 积分和微分的互逆关系, 泰勒级数等等.

这个系列的目的是让看完后觉得自己也能发明微积分, 上面这些核心思想都会讲到, 并且会清楚这些实际上从何而来, 究竟什么意思, 而且会尽可能全面直观可视化.

发明数学可不是说着玩的, 听人解释一件事, 和真正从头开始实现出来是很不一样的. 如果你是一位17世纪的数学家, 在思考这些想法, 画出正确的图形后, 是否觉得你也能合情合理地揭开这些真理呢? 率先推开微积分的大门呢?

这期视频里, 想向你展示, 你在不经意间就能触及微积分的核心思想. 我们深入思考一个很具体的几何问题 '求圆的面积' .

如何求圆的面积

你应该知道是 $π R^{2}$ , 但是为什么呢? 从什么角度能更好地思考这个公式从何而来呢? 通过深思这个问题, 任由自己探索其中出现的一切有趣想法, 会让你窥见微积分的三个中心思想: 积分, 微分以及两者互逆. 先让我们看下图形:

假设圆半径为 3 , 再尝试了把这块面积分割再重新排列各种方法后, 比如把圆剪成很多个同心圆环. 这样可以保留圆的对称性.

如果将所有圆环面积相加起来, 就能得到整个圆的面积了. 取出其中一个圆环, 拉直后这样会成为一个梯形, 不过为了简单起见, 把它近似看成长方形, 长方形的宽是原来的环的周长 $2 π r$ .

而长方形的高(圆环的厚度)取决于把圆分割的多细, 为了体现微积分标准符号的思想, 把厚度叫做 dr , 意思是环与环之间微小的半径差.

这样把展开的圆环近似成细长方形后, 圆环的面积是

虽然这个近似并不准确, 但是随着 $d r$ 选的越来越小, 近似的面积就会越来越接近真实的面积. 我们就继续照着这个近似来算, 把圆剪得越来越细的环, 把圆的面积分成一系列的圆环.

当然圆环内半径取值范围 0 ~ 3, 每个圆环之间相差了我们选择的任意厚度 $d r$ , 例如 0.1 或者其他值. 观察下面动画, 注意随着划分的数量增加, 小矩形加总面积趋近圆的面积:

对于 $r$ 的某个具体取值, 例如 0.6 , 就可以求出长方形的高 $2 π r$ (圆环的周长), 记得最外圈半径为 3 , 那么 $6 π$ 大约是 19

画出 $2 π r$ 的函数图像, 也就是一条斜率为 $2 π$ 的直线, 每个长方形都伸展刚好接触在这条直线. 记住这里都是近似, 每个长方形只是近似与圆中相应圆环的面积. $2 π r$ 这个近似值随着 $d r$ 越来越小, 偏差也会越来越少. 将所有这些面积合起来, 就是图像下方的面积 - 一个三角形.

所有总面积应该是(底 $x$ 高)/2, 等于 $9 π$ . 如果一开始圆的半径为 $R$ , 面积就是 $π R^{2}$ , 那正是圆的面积公式.

找到更一般解决问题的方法

如果你要像数学家那样想问题的话, 那你不会只想找到问题的答案, 还要发展出能解决一般问题的工具和技巧.

上面我们用了从近似到精确的这种方式, 一路直达微积分的要害. 一开始的问题，可以用大量微小数值之和来近似.

● 首先, $d r$ 不仅是待求和的数量 $2 π r d r$ 里的因子, 它还代表里不同 r 值下间隔的大小;

● 第二, 我们选的 $d r$ 越小, 近似就越准确. 圆形面积就是所有矩形的面积合并起来, 会趋近于图像下的面积.

正因为如此，你可以推算出原先问题的答案, 恰好就是图像下面的面积完全准确的值, 而不是一种近似.

数学和科学中许多其他难题都可以分解成近似求出许多微小数量的和.
例如已知汽车在每个时间点的速度, 求它行驶过的距离. 对于这个问题你可以划分出许多时间间隔点, 用每个时间点的速度乘以微小时间差 $d t$ , 就得到相应时间里经过的那一小段距离.

上面问题也是等价于求图像下的面积, 只要相加分割后的微小量(细长矩形)就是对原问题的近似, 如果分割的越来越小, 那么原问题就会等价于某个图像下的面积.

积分 / 导数

目前的重点在于, 你, 为一个数学家刚刚把一个问题转换成图像下的面积而找到了解答. 也许会开始思索怎么求其他图像下的面积. 在圆面积问题里, 我们运气好, 最后的面积是个三角形, 但是例如抛物线 $x^{2}$ 的图像, 那么曲线下的面积，比如 $x = 0$ 到 $x = 3$ 之间, 又是多少呢?

我们把左端点固定在 0, 让右端点变化. 能不能找到一个函数 $A x$ 代表 0 和 x 之间抛物线下的面积, 这样的函数 $A x$ 就叫做 $x^{2}$ 的'积分'

微积分拥有一些工具, 用来找这样子的积分(抛物线下, $x$ 改变时图像下的面积), 但对于现在的你来说, 这个函数还是一个迷.

许多实际问题，可以近似成大量很小的东西加总起来, 而这样的问题都能转化成出某个函数下的面积. 不过找到如何求这个面积, 即积分函数, 不容易做到.

而当你碰到真的很难解决的数学问题, 对策就是别太执着正面的硬算答案. 相反, 你应该先不带明确目标地随便把玩这些概念, 花点时间熟悉下函数间的交互关系, 即定义里图像的函数.

例如 $x^{2}$ 和面积函数之间的关系, 继续发挥探索精神. 你可能会发现这一点, 把 x 稍微增加 $d x$ 那么一点点, 看看面积变了多少. 现在把这一丝面积叫做 $d A$ , 表示面积的微小变化.

从上图可以看到这个窄条 $d A$ , 可以很好地近似成长方形, 高是 $x^{2}$ , 宽是 $d x$ . $d x$ 这个变化量越小, 窄带就越像长方形, 这就给了我们一种巧妙的角度去考虑 $A x$ 和 $x^{2}$ 之间的联系

函数值 A 发生的变化, 这个很小的 $d A$ 面积, 大约就等于 $x^{2} d x$ , 其中 $x$ 是一开始的取值, 而 $d x$ 是取值的微小变动, 它导致 $A$ 发生变化.

或者将其改写成 $\frac{d A}{d x}$ , 即 $A$ 的微小变化比上 $x$ 的微小变化, 就近似等于这一点上 $x^{2}$ 的大小, 这个近似会随着 $d x$ 选的越来越小准确.

换言之, 虽然我们还不知道这个 $A x$ 是什么, 但是我们知道这个神秘函数一定有这样的性质. 观察邻近的两点, 例如 3 和 3.001, 考虑函数值 $A$ 在两点之间的变化, 也就是神秘函数在取值为 3.001 和 3 时的差值, 这个变换除以取值的差值, 此处是 0.001, 应该约等于 $x^{2}$ 在起点的值, 此处是 3 的平方.

这个神秘函数的微小变化和 $x^{2}$ 的大小之间的关系, 对所有取值都成立, 不只是在 3 这个点的位置. 虽然这并没有直接告诉我们怎么找到 $A x$ , 但它给了我们一个可以进一步探索的方向.

任何函数图像下的面积定义的任何函数, 都有这个性质: $\frac{d A}{d x}$ 就约等于图像在这一点的高度, 同样, $d x$ 选的越小, 这个近似也就越准确.

这里我们遇到了微积分的又一重要概念 - 导数.
$\frac{d A}{d x}$ 这一比值叫做' $A$ $A$ 的导数', 或者严格地说, 导数是当 $d x$ 越来越小时候这个趋向的值. 我们会在下一节更深入地探讨导数的概念. 粗略地讲, 它衡量的是函数对取值的微小变化有多敏感.

随着本系列的进行, 会有许多种形象展示导数的方法. 我们关心导数, 是因为他们有助于解决问题. 在以上的短暂探索中, 我们已经瞥见里它的一种用途, 它们是解决积分问题的关键, 这类问题需要你求出一条曲线下方的面积.

一旦你能熟练地计算导数, 你就能够考虑这样的情况, 也就是说, 你不知道一个函数, 但是知道它的导数是 $x^{2}$ , 你能从这出发, 还原出那个函数是什么.

积分与导数之间的这种来回转换关系, 也就是某个图像下方面积函数的导数能够还原出原来定义这个图像的函数, 这就叫做'微积分基本定理'(Fundamental theorem of calculus). 它将积分和导数这量大概念联系起来, 并且表明, 某种意义上, 两者互为逆运算.

因为水平有限, 疏忽错误在所难免, 还请各位老师和朋友多提宝贵意见, 帮助我们改进这个系列, 感谢感谢!

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