本文就网上较火的《用了四百年的地图居然是错的？》一文进行了讨论（以下简称《用文》），同时介绍了自己研究地图投影的心得。本文先从概念与内容谈起，对原文进行逐条说明，其中绿色为《用文》原文节选段落，黑色为本文作者的观点；后面就读者们关切的几个问题，谈谈自己的意见，其中棕色部分为大家的存疑，黑色部分为本人对该问题的回答。文章意在抛砖引玉，以期引来大家更多专家学者的珠玉。观点一：目前全世界广泛使用的地图，出自400多年前一个名叫鲁莫尔德·莫卡托的制图师。
原文中提到莫卡托的全名并不正确，他的名字有一段很有趣的故事。莫卡托投影的发明者原名杰拉杜斯·莫卡托（Gerardus Mercator,1512-1594），出生的时候叫做Gerhard (or Geert) De Kremer (or Cremer)，是Hubert De Kremer和 Emerance的第七个孩子，这个姓氏在德文中是商人的意思，写成拉丁文就是Mercator，那时文人有一“雅好”就是把自己的名字“拉丁化”，自己取了个拉丁名字Gerardus Mercator，也就是说后世传颂的莫卡托并不是他的本名。
在数学界还有一个莫卡托，即Nicholas Mercator，是一位德国数学家，其实他出生地Eutin，当时属于丹麦，他的德文名字是Nicholas Kaufmann，也意为商人，也因为这个“雅好”，所以他自称为Nicolaus Mercator，他最大的贡献是发现了级数，又称为麦卡托级数，而且时间比发现微积分还早。
杰拉杜斯·莫卡托于1587年发明的“莫氏投影法”一直沿用至今，我们所熟悉的世界地图，包括在线电子地图也一直是这个样子。
世界地图的投影方式并不都是这样的，莫卡托只是常见的世界地图投影方式之一，常见的世界地图还有其他形式，比如图1及图2：
数学界最著名的菲尔兹奖（图3左）的背面（图3右）上的几何图形为球体嵌进圆柱体内，这也是阿基米德的墓碑上铭刻的图形，该图形与图2椭圆函数等角投影的有着等价关系。巧合的是“华人菲尔兹奖”晨兴数学奖（图4）上模空间与图3右所表示的图形同构。更为神奇的是图4左的模空间与图4右的椭圆曲线也等价，椭圆曲线在费马大定理中的证明发挥了巨大作用，所以在看似经典的地图投影里面可以窥得数学2000年的发展。电子地图常用莫卡托投影是因为Web地图距离关系不追求精确，互联网地图大多时候只是为了保持角度与方位的关系，谷歌这些IT巨头一般把地球当球来处理，他们也有自己的投影方式如Web Mercator或Spherica Mercator。观点二：然而，这种制图法有个严重的缺陷，从某种意义上讲，我们司空见惯的地图其实是“错误”的。 首先地图投影之所以有“严重的缺陷”，是因为球面的拓扑与平面拓扑有区别，曲面拓扑如同表1所示，这是地图投影研究复杂的根源，这个说法是作者对地图理解不清晰，混淆了概念所致。没有一张地图是不变形的，如果不变形，那么地球必须要为一个亏格为1的环面，但是诺贝尔物理学家曾经写过著作说明天体必须是亏格为0的拓扑球面（Winner S.Chandrasekhar-a special artifificial satellite mission bears his name-“Ellipsoidal Figures of Equilibium”,Yale University Press 1968）！因此地图投影是一个折中的处理。 观点三：比如，南极洲的土地面积约1400万平方千米，在传统地图上看起来就像占据了半壁江山。这是因为把球面展开成平面时，靠近两极的纬线被夸张地拉长了。如果把南极洲按照“莫氏投影法”挪到赤道，在正常比例之下的南极大陆就只能覆盖非洲面积的三分之一多一点。另一个明显的错觉实例是世界最大的岛屿，大部分地处北极圈之内的格陵兰岛。在一般地图上看，它的形状和面积都和非洲相仿。然而，一旦将格陵兰“移动”到赤道地区，216.6万平方公里的面积仅仅相当于非洲两个普通国家的大小。对于我们熟悉的中国大陆地区，挪到非洲也仅仅占据了这里大约1/3的面积。不过，如果向北投射，中国大陆几乎可以覆盖欧洲全境。假如进一步把中国大陆“移动”到和格陵兰相同的纬度……简直秒杀俄罗斯和加拿大。导数总是大于0，所以莫卡托投影是从赤道向两极区单调递增的投影方式，同时纬度方向导数为常数，这导致了越往极区面积形变也越来越大！观点四：这个“违和”的问题，制图学家们提出了多种方法试图替代“莫氏投影法”，其中最能忠实反映出我们世界的叫做“彼得斯投影法”。至于能不能得到世界人民的认可，需要时间来告诉我们答案。德国人阿尔诺·彼得斯认为墨卡托投影法鼓吹欧洲中心论，利用地图作为政治宣传工具。彼特斯于1973年提出了“彼得斯投影法”，这种圆柱等积投影法力求将世界各国按照其实际地表面积进行展示。实际上，德国数学家约翰·兰伯特早在1722年就曾提出过类似的概念，苏格兰牧师高尔·詹姆斯则在1855年首次描述了这种投影法。所以彼得斯投影法制作的世界地图已经经过近300年的考验，历史已经告诉我们世界人民并不认可该投影方法。 以上谈论了我对于《用了四百年的地图居然是错的？》一文中观点的刍议，下面就读者们关心的几个问题，试图作如下陈述与回答。首先《用文》所写投影与文中地图实际地图投影不同！图里是正轴莫卡托投影，文字中写的横轴莫卡托投影。图6左为正轴莫卡托，图6右横轴莫卡托。确定好正轴莫卡托投影后，本文讨论问题变成“正轴莫卡托投影的在不同纬度的面积形变是否让人对各国面积大小产生了误解”那这个概念就是正确的，因为本文在比较面积形变。 保角度、保面积？原来地图应该都是保角投影，这点不会有错，对吧？ 对！这个正轴莫卡托是等角的！但不是所有投影都是保角的。文章认为东西方向也是如此，不敢苟同！经线向投影方式，南北方向有渐长纬度可以接受，东西方向应该不会如此。莫卡托投影的公式计算证明导数不为0，文章没有说东西方向也是如此，他只是平移了中美，两国面积本来就很接近。文中很多例子提到的斜着移动本质上还是上下移动。据说中国实际只有930万平方公里。如图7所示，《用文》的标题应该变成《Mercator投影让人产生了四百年误解》。中国北移能装得下俄罗斯？也就是面积随纬度升高可以加大，真实的两点之间距离随纬度增加可以增大？这个概念目前无法接受。 上下移动。据说中国实际只有930万平方公里。 两点距离的确会变化！简单计算见莫卡托投影的公式，地图投影最大的秘密也就是距离改变了！具体可以参考黎曼的博士论文《关于作为几何学基础的假设》，黎曼文集中文版里收录，或者微分几何里度量张量，地图投影是广义相对论的简化模型，黎文中的图11-13，公式3-9就是基于度量张量形式的地图投影研究简要框架。坐标卡（uα,φα）下，度量张量被表达成一个对称正定矩阵。若(uβ,φβ）是局部参数(xβ,yβ）表达的另一个坐标卡，坐标转换的Jacobian矩阵是：看似故弄玄虚玄乎，却可以看出地图投影是相对论的一个简单模型，笔者在于同行交流学习过程中不断受到质疑，地图投影理论是否需要这么深奥的数学知识吗？用爱因斯坦的话说，大自然并不简单。有兴趣可以去阅读Grafarend的鸿篇巨著（Grafarend E W, You R J, Syffus R. Map Projections ofAlternative Structures: Torus, Hyperboloid, Paraboloid, Onion Shape andOthers[M]. Springer Berlin Heidelberg, 2014.），相对?论?的数学基础是黎曼几何，黎曼几何来自于高斯绝妙定理，该定理正是高斯当年研究地图投影的时候发现！长度、角度、面积：黎曼度量可以用来测量长度、角度和面积。若r(x,y)是曲面的点向量。曲面上的一条曲线c:[0,1]→M有一个参数化表达。那么它的长度是：若果有两个切向量ν1＝αrx＋αry和ν2＝αrx＋βry在曲面的同一点p，ν1、ν2∈TpM并且两∈者之间的夹角是θ。那么：
保持距离投影：基本解决，应用方面还在探索过程，涉及一些有歧义的概念。保持面积投影：解析解尚未完全搞清楚，国际上同行也在探索，但是离散情况下中国学派最近取得了巨大突破，战胜了法国学派。保持角度投影：基本解决，并且出现了很多被历史铭记的数学家，比如Gauss，Riemann，Poincare，Abel，Lars Ahlfors（首届Fields Medal，1936）等。中国数学家陈省身证明了等温坐标存在性为基于等量纬度的等角投影模型奠定了基础。最后，演示一下《用文》上的二幅动画来感受一下地图投影的神奇。 对于地图投影问题，目前自己工作集中于等角投影与离散曲面变换，对全球投影和橘子皮投影尚未完全理解，只零零碎碎看过一些论文。最后引用郝晓光老师的话：“世界地图的基本概念，就是有两类，一类是经向图，表达东西半球，另一类是纬向图，表达南北半球；2002年，我们编制了按纬向分割地球的世界地图，适合表达南北半球的地理关系，但不适合表达东西半球的地理关系。”，来结束本次话题的刍议。■作者简介：刘熠，男，1990年生，江苏扬州人，硕士研究生，目前为中国科学院地理科学与资源研究所客座硕士，研究方向为曲面建模与地图投影。硕士论文为《基于黎曼面的等角地图投影研究》。
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