无穷的欧拉级数中存在着“惊人”的数学魅力

欧拉起初的惊人之举是给出了平方数的倒数和等于π^2/6，与欧拉同时代的数学家都没能解决这个问题，所以欧拉在1734年给出这一结论时，曾引起轰动。因整个数列中没有圆的踪迹，结果却出现了π，也很让这个结果吸引眼球。

现在就来探讨这个级数鲜为人知的数学魅力。

首先在不知情的情况下探讨这个无穷级数是否会收敛呢？

变形：将每个数写成两个乘积形式然后向后移一项，如下蓝色部分

发现：绿色部分是一样的，蓝色部分上面比下面的小

综合得出：红色部分的级数要比欧拉级数的和要大

聪明的你会看出：两个数乘积等于两个数之差

整理：

得到：

所以最终得到无穷级数的和：

所以欧拉级数是收敛的：

热身结束了，我们怎么来证明欧拉级数准确数值呢

首先sinX=0是个三角函数方程，那么X解肯定有无穷多个，可以写成：

学过导数的话，对sinX求一次导数，二次导数：

在X=0时得到b的值：

以此类推不断求导，我们就计算出了sinx方程的所有系数得到：

所有的函数都可以这样来构造成级数的形式，一次方程，二次曲线方程都可以。

欧拉从另外一种思路构建sinX的多项式：

sinX方程的根是：

-π到π之间含有sinX=0 方程的三个解: 0,π-π,其次用曲线来逼近正弦函数，所以多了一个系数c，最终形式为：

只要逼近曲线在sin函数所在的0点斜率相同，就能完全吻合：观察不难得到C值：

整理得到

以此类推得到以根的形式表示sinX的多项式

那么sinX有两种表达式的形式，而且是相等的

我们将根的多项式一项一项乘下去发现：

得到：

这就是欧拉级数的原理

比较X^5的系数你就会得到：

继续观察就会得到著名的沃利斯级数：

沃利斯级数中：分子是全体偶数平方的乘积，分母是全体奇数平方的乘积，所以非常神奇。

这都是欧拉级数原理中所展现出来的数学魅力。