奥数：时针分针与角度（七）

（两针跨小时交换位置）

关键数字：6、0.5、5.5

解题思路与要点：这种类型的题首先应考虑到一般开始是时针在前，分针在后，如：3:10、6:20、10：35等。最后是分针在前时针在后（有的题也是相反的，后面再具体分析）经过几个整点的过程中，时针不断向前加大角度，分针不断循环360°。在此特别提示：
因为是跨几个整点之后再交换位置，这就会出现从起点开始，分针每走一个360°（转回到起点）时针就会向前走一个数字（增加一个小时）题目要求跨越几个小时，时针就向前走几个数字，分针就会相对应转动几个360°，但分针最终还是在起点。

这里的关键问题是：题中要求在几时之后交换位置，其实就是从起点开始追，并且要在指定的数字后面交换两针在起点时的位置及角度。在前面已经分析了：无论时针向前走几个整点，分针只会转动几周，当初的角度不会改变（分针在开始的角度.，时针在（目标整点数字--开始整点数字）×30+开始角度的位置上。可想而知：这时时针与分针的角度差在原来角度差的基础上又增加了前后整点数字差×30度。这就是新的角度差。如果这时分针要追上时针，用这个新的角度差÷5.5就对了。现在要让本来在后面的分针几小时后先追上时针然后再按旧的角度差超过时针，超过的这个角度是在追击中增加的，增加的这个角度与两针当初（旧的）角度差是相等的。
现在可以得出重要结论：
两针跨整点交换位置所需时间（分）为：
起初时针在前分针在后：
【（目标整点数字--开始整点数子）×30+开始角度差×2】÷5.5
起初分针在前时针在后：
【同上…………--开始角度差
×2】÷5.5

注意：用上述公式计算出的时间，是从初始角度钟面显示的“分”到交换位置完成在钟面上向前移动的时间“分”，这个时间（分）+初始钟面上的时间（分）
就是钟面上实际显示的分针位置。目标时针数字配上这时的分针位置就是钟面上的实际时刻。也就是直接读出的钟面时刻（几点几分）

验算方法：

计算出的时间是增加的时间，这个时间加上初始的时间（钟面显示分）就是最后的钟面显示时间（分）

（初始分针在后）：
最后钟面时间的分×6-（时针数字×30+分×0.5）=原角度差。
（初始分针在前）：
最后钟面时间的时针角度--分针角度=原角度差。

例1：
6：20开始到9点后换位
解：
20×6=120°
6×30+20×0.5=190°
角度差：190--120=70°
（9-6）×30+70×2=230°
230÷5.5=460/11（分）
钟面显示：460/11+20
=680/11（分）
验算：
680/11×6-（270+680/11×0.5）
=4080/11--3310/11
=70°

例2：
2：30到8点后换位
解：
30×6=180°
2×30+30×0.5=75°
角度差：180-75=105°
（8-2）×30-105×2=--30°
--30÷5.5=--60/11（分）
--60/11+330/11=270/11

此题先是分针在前，结果分针在后出现负数，说明分针还没有追完（8-2）×360°的时候，为了保持角度差停止追击了，从钟面显示看：分针比追击前往后退了一点：开始是30分，现在是270/11分。当然时针是从2前走到了8前。

验算：
8×30+270/11×0.5
--270/11×6
=240+135/11--1620/11
=2640/11+135/11
--1620/11
=2775/11--1620/11
=1155/11
=105°
两针交换前后角度差相等，都是105°