从零开始学数据分析之——《微积分》第三章 微分中值定理与导数的应用

3.1 中值定理

3.1.1 罗尔定理

定理3.1.1 若函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

（3）在区间两端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，则至少存在一点

，使得

.

3.1.2 拉格朗日定理

定理3.1.2 若函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点

，使得

3.1.3 柯西定理

定理3.1.3 若函数f(x),g(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导，且在(a,b)内每一点有

，则至少存在一点

，使得

3.1.4 泰勒定理

定理3.1.4 若函数f(x)在含有

的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数，则在区间(a,b)上，f(x)可以表示为

的一个n次多项式与一个余项

的和，即

3.2 洛必达法则

3.2.1 

和

型不定式

洛必达法则1 若函数f(x),g(x)满足

（1）

（或∞）

（2）在点

的某邻域内（

点可除外）可导，且有

（3）

（或∞），则

（或∞）

3.2.2 其他类型的不定式

乘积形式、和差形式、幂指形式

3.3 函数单调性与曲线凸凹性的判别法

 3.3.1 函数单调性的判别法

定理3.3.1 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且其导函数f'(x)不变号

（1）若f'(x)>0，则函数f(x)在[a,b]内单调增加；

（2）若f'(x)<0，则函数f(x)在[a,b]内单调减少。

3.3.2 曲线凸凹性的判别法

定义3.3.1 设函数f(x)在区间I内连续。如果对任意的

有

则称f(x)在I上的图形是凹的；如果对任意的

有

则称f(x)在I上的图形是凸的。 

定理3.3.2 设函数f(x)在区间I内二阶导数存在，那么

（1）若在I内，f''(x)>0,则曲线f(x)在I上是凹的；

（2）若在I内，f''(x)<0,则曲线f(x)在I上是凸的。

 定理3.3.3 设曲线y=f(x)，若点

为曲线y=f(x)的拐点，则

或

不存在

3.4 函数的极值和最值

3.4.1 函数的极值及其求法

定义3.4.1 设函数f(x)在点

的某邻域

内有定义，若对任意

有

  （或

）

则称

为函数f(x)的极大值（或极小值），点

称为函数f(x)的极大值点（极小值点）。

定理3.4.1 若函数f(x)在

点可导，且在

点处取得极值，则

.

求极值的步骤：

（1）确定函数f(x)的定义域

（2）考察f'(x)在可能极值点左右的符号

（3）求出各极值点处的函数值

 3.4.2 函数的最值及其求法

定义3.4.2 设函数f(x)在区间I上有定义，

若对任意

有

（或

）

则称

为函数f(x)在区间I上的最大值（或最小值），而点

称为函数f(x)在区间I上的最大值点（最小值点）。

3.5 函数作用

3.5.1 曲线的渐近线

定义3.5.1 设曲线y=f(x)，它的一支沿某一方向伸展至无穷远。若曲线上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P到某条直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线。

渐近线分水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线三种。

3.5.2 函数的微分法作图

（1）求出函数的定义域及不连续点，确定图形的范围及与坐标轴相交情况；

（2）讨论函数的奇偶行、周期性，确定图形的对称性和周期；

（3）讨论曲线的渐近线，确定图形伸展至无穷远处时的形态；

（4）求出使f'(x)=0与f''(x)=0的点及f'(x)与f''(x)不存在的点，列表讨论确定函数的极值、图形的升降、凸向及拐点；

（5）描出曲线上已求得的几个特殊点（与极值点相应曲线的点、拐点及曲线与坐标轴的交点），必要时再补充一些点，并按（1）、（2）、（3）、（4）已得到的信息逐段绘图。

3.6 导数在经济中的应用

3.6.1 边际分析

1.边际成本

2.边际收益

3.边际利润

3.6.2 弹性分析

1.弹性

2.需求的价格弹性和总收益