彩票混沌动力学模型的彩票意义
（一）、彩票的自治动力系统方程，反映了彩票动力学系统规律的不变性
彩票混沌动力系统方程（式4）是一个不显含时间（t）的自治方程，彩票涨落密度Cn、Cn+1都是状态空间中的状态变量，式（4）具有时间平移不变性，明确地表示了彩票系统动力学规律的不变性。状态变量Cn随着时间的变化正是相空间中的轨迹（轨线），也是方程式(4）的解曲线，这些曲线与初始条件有关，相互临近的初始条件的轨迹（轨线）的集合构成了彩票的流（How）,它表示彩票系统运动的走势。因此，彩票混沌动力学方程描述了彩票混沌运动的规律，表示了彩票系统随着不断开奖所表现出的中奖号码状态变量的运动走势。
（二）、二次映射,描述了在一定范囲内彩票在涨落过程中复杂的、非线性的“双态”现象
在数学上， 一次函数只能描述一个定态或者一个不动点，最多能描述系统在某一个阶段或短时间内的演化行为，说明系统的演化起点。所建立的模型一般是一种极端近似情况下的数学模型。但是， 现实世界总是存在着至少两个方面以上的定态，如涨与落、伸与缩、密与疏、大与小、高与低………等等都是2个定态，又叫双态现象，在数字上至少是2次非线性式。
彩票的逻辑斯蒂映射
Cn+1=µCn（1-Cn）
展开括号得
Cn+1=µCn-Cn2
显然是一个二次映射，在一定的参数值范囲内屬单峰映射, 也存在着不断的倍周期分岔过程, 这正反映了彩票在涨落过程中既有涨又有落，既有拉伸又有折叠的复杂的、非线性的“双态”现象。当然, 从整体上看是稳定的, 是確定系统的随机现象, 是无序中存在着有序, 有序中存在无序的无穹嵌套的自组织结构, 是无序和有序的统一体。
彩票的迭代方程，揭示了彩票系统运动前后时刻的动力因素
彩票的逻辑斯蒂映射，是一个有限差分方程，也是一个迭代方程，既反映了彩票系统的离散特性，又反映了彩票系统的选代（反馈耦合）机制，深刻地揭示出彩票系统运动前后时刻的动力因素
彩票的逻辑斯蒂映射
Cn+1=µCn（1-Cn）
的迭代序列构成了一个（离散）动力系统，反映了彩票系统的迭代（反馈耦合）机制，刻画了彩票运动在涨落前后两期的动力因素。即第n期的涨落决定了第n+1期的涨落， 第n+1期的涨落决定了第n+2期的涨落，第n+2期的涨落决定了第n+3期的涨落。
彩票混沌运动系统受到控制参数µ的调节
彩票逻辑斯蒂映射中以系数出现的常数µ，是彩票系统运动的控制参数，控制参数µ与涨落密度Cn无关，但对彩票系统的变化起着调节作用。
对于彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=µCn（1-Cn），如果用ζ表尔不动点和周期点的值, 那么当0≤µ≤1，在［0、1］區间内不动点ζ满足ζ＝f（ζ）。这个不动点,在数学上, 指式（4）将映射为自身。在物理上, 指这个平衡态是稳定的。在彩票中, 就表示彩票未开奖，所有彩球都好似“沉睡”“死亡一样”；
当1﹤µ≤3時,ζ＝0仍是一个（贪乏的）不动点, 但ζ＝1－1/μ 的另一个不动点出现了 即
μζ（1－ζ）＝μ（1－1/μ）［1－（1－1/μ）］＝1－1/μ＝ζ
而且发现, 当μ＞1時,ζ﹦0这个不动点都是不稳定的, 当μ＝2時,ζ﹦1－1/μ 这个不动点是稳定的。预测就是要善于从不稳定的不动点中准確地掌握控制参数μ这个阀门, 捕捉到稳定的（那怕是暂時的）不动点。例如当µ=2时，方程Cn+1=µCn（1-Cn），具有精确解《注5》
Cn=1-(1-2C0)2n2
当3﹤M﹤μ∞（μ∞﹦3.5699…）出现周期为2、4、8、16、32…的倍周期分岔现象。例如µ=3.2 则Cn+1=3.2Cn（1-Cn）从Cn=0.4开始，彩票密度C具有周期2的特点，C总是在0.7905～0.5130两个轨迹点交替变化。当µ=3.5 则 Cn+1=3.5Cn（1-Cn）也从 Cn=0.4开始，彩票密度具有周期4的特点,轨迹点分别趋向于0.875，0.385，0.827，0.501。
当μ∞≤µ≤4时，进入混沌区。例如，当µ=3.8， 则Cn+1=3.8Cn（1-Cn），从Cn=0. 4开始，迭代后出现杂乱无章的轨迹，即进入混沌区。当µ＞4，C很快趋于-∞ ， 无彩票意义。
混沌理论指出，混沌运动状态实际是由无穹多不稳定的2n周期轨道所组成, 其中还包含一些超周期轨道。所谓超周期, 就是超稳定点相对应的周期。“超”指该点离不稳定的两端点都很远, 这些超稳定轨道的超稳定点的稳定性比其不稳定轨道相对要大些, 即是说系统运动停留在这些超稳定点的時间要长一些。在逻辑斯蒂映射中, 当控制参数μn取下列各值便存在超周期轨迹点表（三）《注7》。事实上迭代函数的极大和极小就是超稳定点, 混沌區上下边界的最大值和最小值也都是超稳定点。
因此, 彩票的混沌预测应充分利用彩票作为逻辑斯蒂映射存在的诸多超稳定点, 再考虑µ当1＜μ≤3時彩票运动出现的ζ﹦1－1/μ这个稳定的不动点和3＜μ＜μ∞ 的一些周期点。这些稳定、超稳定点正是彩票预测所需要的轨迹点。计算实验表明，当4舍5入时，这些µ的最佳控制调节点可调整、简化为8个：1.2、 2、 2.7、 3.236、 3.499、 3.555、3.567、3.569。
为了便于直接从表（二）中查出已知量进行定量预测，我们把式（4）进行如下变换
令 Cn = (∑?〖hn￣〗)/M 、Cn+1 = (∑?〖hn＋1￣〗)/M, 并代入（4）得
∑?〖hn＋1￣〗=µ∑?〖hn￣〗(1-(∑?〖hn￣〗)/M)………(5)
其中∑?〖hn￣〗 = h1+h2+....hpP µ∈(0,4) ∑?〖hn￣〗∈［0,M］
式（5）与式（4）等价，只是区间迭代不同。但式（5）比式（4）更具有平滑噪声和直观可测性，因此是彩票混沌预测的核心公式。
P，表示某彩票涨落的次数，即彩票的时间序列。
∑?〖hn￣〗，为了平滑系统噪声，在预测时一般指某彩球在第N期P次涨落的平均总高度。∑?〖hn+1￣,〗 指某彩球在第N+1期P次涨落的平均总高度。
M，指从2003 年起，每开奖两年以上所相应的∑?〖hn￣〗 的最大值（简写M）。
因为µ=1.2、2、2.7、3.236、…… 3.57为已知量，∑?〖hn￣〗在表（二）、表（一）中均可查得也为已知量，如果第N期为预测前的最后一次开奖期，那么第N+1期为预测期。这样式（5）中只有一个未知量∑?〖hn＋1￣〗。即是说， 通过某彩球在第N期的状态变量∑?〖hn￣〗，可以通过式（5）迭代计算出第N+1期（预测期）的∑?〖hn＋1￣〗。由于每一个µ的值都可对应一个∑?〖hn＋1￣〗值，那么8个µ的值可对应8个不同的∑?〖hn＋1￣〗值。换句话说，在第N期某彩球有一个轨迹点的状态变量∑?〖hn￣〗，通过式（5）可以迭代出第N+1期8个可能的轨迹点的状态变量。这样可编制出任何彩球、任意涨落平均高度、任意涨落次数，在8个不同控制参数µ的调节下，所有彩球从第N期到第N+1期的状态变量∑?〖h￣〗的非周期表。简称彩票混沌运动非周期表。只要已知某彩号码第N期的状态变量，在非周期表中便可查处该球在第N+1期所有可能被摇奖机摇出的号码的状态变量，自然很容易反查出可能摇出的所有彩号码。
彩票的混沌〔全文 修改稿〕〔6〕
彩票具有确定系统的内在随机性
彩票的混沌动力学方程所揭示的系统运动的轨迹C0、C1、C2、C3……Cn、……，是由公式Cn+1=µCn（1-Cn）完全确定的,Cn是一个确定的变量而不是“不能准确预知，只能概率估计”的随机变量，把一个轨迹点Cn代入方程计算出的下一个或几个轨迹点Cn+1是完全确定的。
当µ→µ∞=3.569945672……， 这是一个极限，如果µ超过了这个极限，且µ∞<µ≤4 时, C不再是一个确定的变量而仿佛是随机出现的变量。这时彩票混沌动力学方程所揭示出的系统运动的轨迹点是杂乱无章的，即混沌解。但即使在这个混沌区（µ∞, 4）也不是完全的无序。当µ值大于3.5699时大多是混沌，在某些小区域秩序又恢复，看起来像在混沌中打开几扇清澈的小窗，例如当µ稍大于3.8而小于3.9时，系统似乎回到µ小于3的稳定状态，当µ值渐增，又看到重复分岔（倍周期）的情况，如同µ值稍大于3的模式。接着我们会重复先前经历的各阶段，再度看到混沌。只不过尺寸较小，而在这个小尺寸的新版本中又会发现一扇窗子，如同我们在3.8至3.9之间看到的一样；在这窗子里面，同样模式又再次重复。这样的重复永无止境 ，好象一个套着一个的俄罗斯套娃，这就是“自相似（套）（Selfsimilat）…在有序之中存在混沌，在混沌之中又存在有序。”《注4》
由此可见，彩票的非线性运动不仅存在有序的无穷嵌套的自组织结构，同时具有内在自发产生的随机现象，这种随机现象不是外来的、与外界噪声无关的、短期可预测而长期不可预测的内禀随机性，这种内禀随机性与外随机性（即受到外来影响、与外界噪声有关的、存在大数现象的数据随机性）是完全不同的， 所以又称为内在随机性或称内随机性或伪随机性。
彩票的奇怪吸引子代表了彩票复杂的有序运动
奇怪吸引子不是物理学中所指的分子、原子、电子、质子、中子……….等实体，而是一个抽象的数学对象。我们知道，线性系统都有确定形式的解，其在相空间中的轨道一般都有确定的形式，这些一定形式的单一轨道也可以刻画线性系统的运动。然而，对于混沌运动，由于蝴蝶效应使得单一的轨道难于刻画复杂的混沌系统的运动特性。相反，所有轨道的集合具有一些独特的性质，分析研究这些所有轨道的集合，就可以了解复杂的混沌系统运动时的一些性质。因此，数学家们十分热衷于把这些所有轨道的集合或者说相空间中无穷多个点的集合叫做吸引子。对于线性系统，一般叫平庸吸引子（即简单吸引子），对于混沌系统叫奇怪引子或混沌吸引子。奇怪吸引子可以是点、线或面，它常常隐藏在混沌现象的背后，借助计算机可以描述出它的图形，代表着混沌复杂有序的运动，研究了奇怪吸引子的特殊性质，可揭示出混沌的属性。。
彩票是一个具有多吸引子的复杂的系统, 既存在平庸吸引子, 又存在奇怪吸引子。对于逻辑斯蒂映射, 认为
λ﹤0 0≤µ﹤µ∞ 平庸吸引子
λ﹥0 μ∞﹤µ≤4 奇怪吸引子 《注8》
（ λ 李雅普诺夫指数）
也有人认为, 因μ＞3出现倍周期分岔级联（casoade）“一个系统有倍分岔发生, 系统应是混沌的”《注9》 所以
0≤μ≤3 平庸吸引子
3＜μ≤4混沌吸引子
或 3＜μ＜μ∞ 混沌边缘吸引子
μ∞＜μ≤4 混沌吸引子
无论怎样分类, 彩票总是一个非单一吸引子的复杂的混沌系统。如果把第一次分岔现象看成是一个单一的吸引子分成2个吸引子并按倍周期分岔无穷多层次分岔下去，这也可看成是彩票吸引子“传宗接代“的无穷多层次的有序结构。
彩票的奇怪吸引子代表了彩票复杂有序的以下特殊性质：
1）奇怪吸引子在相空间是一个有界域《注10》
奇怪吸引子是整体稳定、局部不稳定的复杂流形
奇怪吸引子对初始条件的敏感依赖性
4）奇怪吸引子具有运动的非周期性
5）奇怪吸引子具有分数维
6）奇怪吸引子具有无穷嵌套层次的自相似结构
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