圆周率虽然是无理数,但是圆周率始终是实数,任何一个实数在实轴上都是唯一确定的,在实数层面,无理数本质上与有理数并无区别,所以平面内固定半径的圆周长也是唯一确定的。
我们最初在遇到无理数时,有些人难以理解无理数,无理数在十进制中是无限不循环的,当然我们也可以证明,无理数在任何整数进制下都是无限不循环的,圆周率就是一个典型的无理数,圆周率的无理性在1761年首次被证明。
对于无限不循环这个概念,部分人会陷入思维困境,认为“无限不循环”是一个变动的数,一个不确定的数,最终认为无理数在数轴上不是确定的,甚至圆的周长也不是固定的。
这个理解是完全错误的!
在数学中,只要涉及无限的概念,就很容易出现一些让人难以理解的结论,这是很正常的事,实数可以分为有理数和无理数,无理数又可以分为整数和非整数。
比如十进制中的1/3,这是一个无限循环小数,属于非整数,当然也属于有理数,我们这么理解,来看这么几个数的比较:
1/3=0.33333……
1/6=1.66666……
1/8=0.12500000……
2=2.000000……
对于有理数来说,无论是整数还是非整数,本质上都是无限循环小数,只不过整数的小数后面全是“0”的循环而已,它们本质上是没有区别的。
另外一个证据也说明了这点,在十进制中的无限循环小数,有可能换算为其他进制后,就变成了不循环的小数(无限零循环不算),比如1/6在十进制中是无限循环的,但是在六进制中就变成了0.1,成了一个不循环的小数(零循环不算)。
如果理解了这点,我们再用同样的思维去理解无理数:任何数本质上都可以分为整数部分和小数部分,其中小数部分拥有无穷多个数位,无论是有理数还是无理数,任何一个实数的小数部分都是唯一确定,它确定了这个数在数轴上的位置。
单从这方面看的话,无理数和有理数本质上没有区别,任何数在实数数域上都是唯一确定的,只不过有理数的小数部分是循环的,无理数不循环而已。
从无理数和有理数的分布上看,在数轴上,无理数的个数是不可数的,有理数的个数是可数的,无理数的可数性由黎曼最早证明;这个性质在某种程度上说明了无理数远远多于有理数,如果我们在数轴上随机选取一点,那么这点对应的数几乎肯定是无理数。
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