教学就是涤荡学生的思维
片断一：口算导引。
1、逐一出示，学生口算。
2、提问：你发现这些算式有什么特点了吗？
生1：都是加法。
生2：两个分母之间有倍数关系，4是2的2倍，8是4的2倍。
生3：第一个分数是第二个分数的2倍。
小结：都是两个分数相加，前一个分数是后一个分数的2倍。
【赏析】教者极富教学思想，自觉开发课程资源，编创教材，引导学生在有关分数计算中积极探索规律。备课设计从分数口算题开始，明确地把经历猜想和验证的过程，运用转化和数形结合的思想方法，引导感悟和探究计算中的数学规律作为教学目标，表现了教者坚持课改理念高度的自觉性、课堂设计强烈的意识性和教材组合极大的灵活性。
片断二：猜测验证。
1、引导扩展算式。
师:符合这个特点的算式我们可以写得更长一些。
师生对话引出： （1）1/2+1/4+1/8
（2）1/3+1/6+1/12+1/24
让学生计算上述算式（1）,然后汇报。1/2+1/4+1/8=7/8
2、组织探究发现。
师：这种方法是将异分母分数经过通分转化成同分母分数计算。（板书：转化）请大家再仔细观察这个算式和得数，你又有什么发现？
生1：和的分母是最后一个分数的分母，分子比分母小1。
生2：最后一个分数+得数=1
师：最后一个分数+得数=1。想一想：要求得数，有没有更简便的算法呢？
生3：可以用1减去1/8来算。
3、借助图形理解。
师：到底可不可以这样算呢？我们可以借助于直观的图形来帮助我们理解。
动态出示上图，引导学生明白：换个角度想，可以把计算几个部分的和转化成求一个正方形减去空白部分所得的差。（板书：求和
板书：1/2+1/4+1/8=1－1/8=7/8
4、深入观察猜想。
师：我们可以大胆地猜想一下：计算这类前一个分数是后一个分数的2倍加法算式的和,有没有什么规律？
结合学生回答，投影呈现：“有人说：几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和，只要用1减去最后一个分数就行了。”
你认为这种说说法对不对？你将用什么方法证明你的结论？
生1：可以举例子，来算一算。
师：用什么方法算呢？
生1：用通分的方法算，再用猜想的方法算。
师：然后呢？
生1：再比较这两个得数是不是一样。如果一样，说明猜想是正确的；如果不一样，说明是错误的。
师：谁听懂他的意思了？
生2：他的意思是说，分别用通分的方法和猜想中的方法算出结果，比较两个结果是否相同。
师：生1介绍了一个好方法，生2听得很认真，也很会表达。好，我们就用“举例子”的方法来验证一下这个猜想是否正确。
学生独立思考，举例验证，全班交流。
建议学生用上述算式（2）、（3）为例或举其它例来验证,发现这一猜想错误。
显示：在数学上，我们要证明一个说法是不对的，只要举一个反例就可以了。
师：看来这个猜想并不具有普遍性，有些题目符合猜想，有些题目不符合猜想。要想找到普遍性的规律，还需要我们进一步观察和探究。
【赏析】对学生的诱导层次性很强——先是对已有几道算式特点的归纳概括；再有类推迁移扩展算式强化特点；接着强调通分体现转化思想，诱导对算式与得数间联系的发现；继之运用数形结合的手段动态地表征算式；验证中举出反例否定猜想。这些拾级而上的数学学习活动引领，都是围绕着创设猜想的氛围，为促成学生深入观察，大胆猜想，小心验证做足铺垫。
片段三：再猜测再验证。
师：我们还是借助于直观的图形来帮助我们找找猜想错误的原因。
逐步出示上面两个例子的正方形图。
师：既然刚才的猜想不是规律，那么规律到底是什么呢？哪位同学能借助图形来说说自己的发现？
生1：（边指着图一边讲想法）我发现可以先把最右边空白部分1/24当成涂色部分，1/6 +1/12+1/24+1/24=1/3，这样涂色部分就是2个1/3，但是因为多加了一个1/24，所以需要再减去一个1/24。1/3+1/6+1/12+1/24=1/3+(1/3－1/24)=1/3×2－1/24=5/8
生2：（边指着图二边讲想法）我的想法跟生1差不多。可以先把最右边空白部分1/32当成涂色部分，1/8+1/16 +1/32+1/32=1/4，这样涂色部分就是2个1/4，但是因为多加了一个1/32，所以需要再减去一个1/32。1/4+1/8+1/16+1/32=1/4+(1/4－1/32)=1/4×2－1/32=15/32
师：大家明白他们的想法吗？有没有道理？我们在图形的帮助下不但找到了错误的原因，而且还发现了正确的算法。那么，受到刚才计算方法的启发，现在你能不能再次大胆猜想一下：计算“几个分数相加，前一个分数是后一个分数的两倍，求它们的和”，怎样算比较简便？
生3：几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和，
投影显示：“有人说：如果前一个分数是后一个分数的2倍，求这样一组分数的和，只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。
你认为这个人说得对不对？你有什么方法证明你的想法？
师：如果要证明一个说法是错误的，只需要举出一个“反例”就可以了，如果要证明一个说法是正确的，需要举出几个例子呢？
生1：多举几个例子，越多越好。
师：但是例子是举不完的呀？
生2：我觉得可以举一些特殊的例子。
学生举例验证，发现猜想二都是正确的。
（投影）显示“猜想一”和“猜想二”
师：比较这两个猜想，它们之间有联系吗？
结合学生回答，小结：猜想一仅仅是猜想二的一种特殊情况，猜想一并不具有普遍性，猜想二才具有普遍性。因此，猜想二才是规律。
【赏析】光有验证中的否定猜想还是不够的，还得有通过验证获得证实的情形，这样学生对猜想的正反面验证经历才能完整。教者点拨学生的思路先行探究猜想遭受否定的原因，修正自身的主观猜想，发现更为一般的规律表述，进入再验证过程。如此的循环往复，突出了猜想与验证之间认识发展的辩证过程，使得学生对探索规律经历的过程体验涵盖了更强的普适性。
片断四：反思建构。
1、运用。
计算：1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/1024
学生口答，集体反馈。
2、反思：
师：在学习过程中善于反思和总结的人进步最快。通过这节课的学习同学们静静地想一想：
（1）这节课我们得出了什么结论？
（2）我们是怎么得出这个结论的？
归纳：猜想——验证——再猜想——再验证，用到了“数形结合”和“转化”的方法（板书）。
（3）你还能提出新的猜想吗？
生1：这是几个分数相加，如果是整数呢？有没有这个规律？
生2：如果是小数呢？
生3：如果是几个分数相减呢？有没有类似的规律？
生4：如果几个分数相加，前一个分数是后一个分数的3倍，是不是得用第一个分数乘3再减最后一个分数呢？
……
师：同学们提出了许多很好的猜想，是否正确呢？还需要——
生（齐）：仔细验证。
师：对。大科学家牛顿有句名言:“没有大胆的猜想，就没有伟大的发明和发现。”历史上，很多著名的数学结论都是从猜想开始的，都是经过了“大胆猜想,小心求证”的过程,我们可以用这节课中学到的思想方法去探究更多的数学规律。
【赏析】将经过验证而获得证实的规律性认识，让学生再通过一定的计算运用以求进一步确证，并体验掌握规律后的便利，同时也作为了引发学习反思和总结的中介。设计的三个提问，恰到好处地引导了学生的思维方向，成就了课堂认知明确而扼要的成果检阅，既发挥了学生课堂总结中的主体性，也提升了他们认知的概括性。引用世界著名大科学家牛顿的名言作结，能够激发学生对数学规律后续的进一步探究兴趣，预留了可持续发展的巨大空间。
【总评】
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