(3)“游戏公平”教学琐思

“游戏公平”教学琐思

 

   “游戏公平”是老师们普遍感觉比较难把握的一节课，成功的课例也是不太多。下面谈谈自己对这节课的一点儿思考，并例举一些有价值的尝试。

一、公平性规则的本质内涵？

   公平性是游戏前的一种判断，而不是游戏后的一种结果，公平性的大小并不会妨碍事情发生的可能性。教学中，可通过追问的方式，引导学生深刻理解“公平性规则的本质内涵”。

   举例：

    师：同学们通过改变白球或红球的个数，使得摸到白球和红球的可能性相同，修正了游戏规则。但老师还有一个疑问：既然游戏规则公平了，为什么在游戏中还是会有输赢？

 （生：游戏和比赛一样，就要分出胜负。）

    师：对！游戏规则的公平，只能代表游戏双方输赢的机会均等，赢的可能性相等，但在实际的游戏中输或者赢的结果是不确定的。

二、等可能性实验是否有必要做？

   “概率”教学中的等可能性实验有没有必要做？就目前而言，大都赞同这个实验没必要做。赞同此观点的理由，张奠宙教授这样说：“概率”中的等可能性属于古典概型，等可能性事件的发生概率并不依赖于实验，往往是根据人们长期形成的对称性经验确认的，是通过理性思考得出的；一线教师这样说：能否验证抛硬币正面朝上的可能性凭的是运气。

   确实，要真的通过实验验证这个，很难。也如专家所说，这个确实不是我们验证出来的，而是学生根据自己的生活经验所作的一个判断。比如有这样一个问题：一个盒子里有一个红球和一个黄球，摸一次，摸到红球的可能性是多少？五年级的学生可以很快地回答出。你再问他：摸10次摸到红球几次？他的回答就不会再定格在5次上了。

   上述现象，基本就是大家认为等可能性实验没必要做的原因了。但是如果我们深入分析一下，就会发现问题：虽然学生知道“摸到红球的可能性是1/2”，学生也知道“摸10次摸到红球的次数不一定是5次”，但是从“摸到红球的可能性是1/2”到“摸10次摸到红球的次数不一定是5次”则正好是一对矛盾。于是问题就产生了：这个矛盾蕴含的道理学生明白吗？我们又该用什么方法帮助学生解开这个矛盾呢？

     看来，要解决这个问题，还得从做等可能性的实验入手。但是，做这个实验的目标应该有所调整。

案例：

……

盒子里还剩下一个红球和一个黄球。

师：老师摸1次，摸到红球的可能性是多少？

生：1/2。

师：摸到黄球的可能性呢？

生：也是。

师：看来摸1次，摸到红球和黄球的可能性是相等的。那如果老师摸10次，会摸到几次红球？

 

    图1

 

红球   黄球

0      10

 1       9

 2       8

 3       7

 4       6

 5       5

 6       4

 7       3

 8       2

 9       1

 10      0

 

 

生1：5次。（其他学生有意见：不一定的）

 

生2：可能是4次，也可能是6次……

根据学生回答，板书罗列所有情况（如图1）。

师：不是说摸到红球和黄球的可能性是相等的吗？怎么会出现这么多情况？

生1：虽然可能性相等，但摸的时候要看运气的。

生2：真的摸了是不一定的，有一定的偶然性。

生3：我补充一下，可能性相等是指还没有摸的时候，摸到红球和黄球的机会是相等的。但真的摸了就不一定了。

师：我明白了，可能性相等是摸球之前的判断，真的摸了就会有随机性和偶然性。那么根据随机性和偶然性，这些情况都会出现吗？

生：不一定的。比如10和0或者0和10的情况应该不会出现。

 

组别	红球次数	黄球次数
1	4	6
2	4	6
3	6	4
4	8	2
5	5	5
6	2	8
7	6	4
8	5	5
9	5	5
10	6	4
11	4	6
12	3	7

图2

 

师：你们的意思就是在这些情况中有些容易出现，有些不容易出现。那你们说说看哪些容易出现呀？

 

生1：我觉得出现4和6的可能性比较大。

生2：我觉得出现5、5，4、6，6、4的可能性会比较大。

生3：还可能会出现3、7或者7、3。

举手表决发现学生的猜测基本集中在5、5，4、6，6、4这3种上，老师在板书上将这几种情况圈出。

师：真的是这样的吗？有什么办法可以验证？

生1：实际摸一下不就知道了吗？

学生4人小组实践，每组摸10次，并记录，然后反馈，形成表格（如图2）。

师：观察一下我们的实验结果，刚才我们猜摸10次就不一定是5和5，猜对了吗？

生：对啦！

师：看来实际摸的时候确实有随机性和偶然性。我们又猜了，虽然会出现不同的情况，但都集中在5和5左右，猜对了吗？

生：对啦！

 

          图3

 

红球   黄球  组数

0      10     0

 1       9     0

 2       8     1

 3       7     1

 4       6     3

 5       5     3

 6       4     3

 7       3     1

 8       2     0

 9       1     0

 10      0     0

 

 

师：这个你们是怎么看出来的？

 

学生数各种情况的组数，教师板书（如图3）。

师：奇怪了，怎么都集中在5和5边上？这是什么道理？

生1：因为这些情况和比较接近。

生2：因为盒子里只有1个红球和1个黄球。摸到红球和黄球的可能性是相等。在摸是时候虽然有偶然性，但也不会离的很远。

师：这么说，我们一开始的判断是有道理的。

接下来引导将总数加起来进一步证明是有道理的。

上述实验的目标并非为了验证“1/2”，而是帮助学生实现如下体验：

  1、进一步体验事件的随机性，完善对可能性大小的认识

   事件的随机性，学生在三年级学习“可能性”时已经有过初步体验。但那时学生对可能性的刻画还只是停留在定性上，即只能说出可能性有大小，因此当事件出现随机性时，不至于会对学生的认知产生强烈的冲突。比如一个盒子有3个红球和5个黄球，摸1次，学生能正确判断出摸到黄球的可能性要大。小组进行摸10次的实验，结果有个别小组出现摸到红球的次数要多，学生也能理解是因为有“运气”的成分。到了五年级，则要求学生能定量刻画可能性的大小，比如1个红球和1个黄球放在一个盒子里，摸1次摸到黄球的可能性是，照这样计算，那么摸10次，摸到黄球的次数应该是5次。但实际真的是5次吗？学生根据自己的生活经验，很容易就可以知道其实是不一定的，可能比5次多，也可能比5次少。为什么会这样呢？学生也可以通过“运气”来解释，即事件的随机性。但如果我们不做追问，仅仅在学生得出后就认为学生他们已经理解了，显然这样的程度学生对可能性大小的认识是不到位的。因此，通过做等可能性的实验，不仅可以使学生进一步体验事件发生的随机性，更是完善学生对可能性大小认识的一个有效途径。

   2、体验概率的形成过程，真正理解的意义

   当重复试验进行较多次时，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，这个常数就称为这个事件的概率。（《数学辞海》第702页）这是概率的定义。显然，在教学中我们很难让学生去理解这句话。但是，很难理解并不代表我们就可以不让学生理解。相反，因为很难理解，所以我们更应该想办法使这句话变的好理解。在概率的定义中，有几个关键词需要我们注意：重复试验、常数、摆动。在这里，重复试验，可以用小组试验来代替。常数，就是学生一开始得出的。唯一理解有点难度的，就是“摆动”。如何让学生理解这些随即现象是在某一个常数附近摆动，是我们做这个等可能性试验的重要目标，也是让学生经历概率形成过程的主要途径。

三、选择什么样的例子联系生活？

举例：

师：只有公平的游戏大家才愿意玩，但是生活中的事是不是都是公平的呢？学生：阿姨，我买一支钢笔

售货员：给，9元8角

学生：价格上不是写着9元7角5分吗？

售货员：小朋友，现在不用分币了，都用四舍五入法啦！

学生：“四舍五入”法对顾客公平吗？

师：请大家讨论讨论，“四舍五入”法对顾客公平吗？（对商家有利的有5、6、7、8、9五种情况，对顾客有利的有1、2、3、4四种情况，对顾客不公平。）

师：虽然只有五分之差，但如果顾客非常多的话，钱数就非常大了，请大家看这个信息。（一家中型超市由于“四舍五入”分币，一天可多收入3百多元，一个月就是9千多元，一年就是10万8千多元。四舍五入法不公平，怎样的办法才公平？这个问题就留给同学们课后去讨论。）