等差数列

在一列数中，如果任意两个相邻的数的差都相等，那么这个数列就是等差数列。但是，等差数列的表现形式一般只有两种：递增和递减。所以说，等差数列是非常有规律的，抓住其中的规律这类问题分分钟解决！

例题

1、求等差数列2、6、10、14、...........，的第9项和第21项。

首先我们来进行观察很明显，每两个相邻的数之差为4，如下图：

公差

在等差数列中，任意两个相邻数的差叫公差，都是相等的。题目要我们求第9项，这里要跟同学说明一个概念，等差数列中所有数的个数叫做项数。从图中我们可以看到只需要依次类推，往后的每一项加4，写到第9项就可以得到结果，如下图：

但是这种方法所能写的范围非常有限，如果是第90项的话，那岂不是要一个一个数去写，这里利用等差数列的规律来求第9项，如下图：

依据上图，以这一种画图的方式来理解等差数列，题目就变得非常容易了，我们可以算出第一项到第九项之间差了8个四也就是：(9 - 1) × 4 ＝32，也就是说第一项2比最后一项少32，那么最后一项就是：2 + 32 = 34。

同理，我们就可以推导出等差数列求末项的公式：首项 + (项数 - 1) × 公差，建议大家不要去记公式，最好就是自己通过画图例的方式来进行理解自然就能看懂公式了。

2、已知等差数列2、5、8、11、14........，问47是否为这个数列其中的一项，如果是，47是第几项？

我们一起来看，第一项和最后一项相差：47 - 2 = 45，并我们根据等差数列的规律可以明显看出公差是3，如下图：

第一项2到最后一项47相差45，每项之间相差3，我们马上就可以求出，第一项到最后一项中间隔了：45 ÷ 3 = 15项，这个15是间隔数，不要理解错了，15 + 1 = 16这才是47所在的项数。

依据此方式我们推导出求项数的公式：项数 = (末项 - 首项) ÷ 公差 +1

3、某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。问：这个剧院第一排有多少的座位？

仔细阅读题目，其实这就是个等差数列的问题，题目告诉我们公差是2，末项是70，项数是25，还缺少一个首项，我们先求首项：

所以我们就可以得到首项：70 - (2×24) = 22，也就是说第一排有22个座位。

4、计算下面数列的和

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = ？

等差数列求和我们可以运用其规律进行运算，如下图：

因为等差数列相邻的差是相等的，所以我们可以以这种方式来进行凑对，一共是10个数，凑成5对，就可以得到 (2 + 29) × 10 ÷ 2 ＝155。

由此我们可以推导出等差数列的求和公式：(首项 + 末项) × 项数 ÷ 2

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