下面，我们需要讨论是否图形的刚体运动都能通过这三种变换以及这三种变换的连续操作，即变换的复合得到。为此，我们需要讨论更加一般的图形运动。用Z和E分别表示X和Y经过运动后得到的点，我们讨论满足下面条件的运动：
运动后，过点X的直线为过点Z的直线 （12）
经过这种运动，线段可能拉长或者缩短，但直线仍然是直线，即这种运动具有“直线不变性”。显然，刚体运动满足这个条件，也就是说，这种运动包括了刚体运动。在这个条件下，我们可以把点的运动看作点的坐标的一种线性的变换，即存在一个矩阵A和一个向量H，使得Z=AX+H和E=AY+H。下面我们讨论这样的运动中刚体运动的特征，因为刚体运动要求运动后两点间距离不变，即满足d(X,Y)=d(Z,E)。利用《图形的量化---度量几何：图形的运动之矩阵运算》中（3）式和《图形的量化---度量几何：图形的运动之刚体运动三种变换》中（4）式，对于线性变换我们可以得到下面的结果：
d2(Z,E)=(Z-E)’(Z-E)
=[(AX+H)-(AY+H)]’[(AX+H)-(AY+H)]
=(X-Y)’A’A(X-Y)
可以看到，为使d(X,Y)=d(Z,E)，线性变换中的向量H可以是任意向量，但是矩阵A必须为正交矩阵，即满足A’A=I。因此，我们可以得到一般结论：一个运动是刚体运动当且仅当运动所对应的矩阵是正交矩阵。进一步，如果对于一个物体连续进行平移，旋转或者反射变换，这相当于将那些与变换对应的正交矩阵进行连续乘积，由《图形的量化---度量几何：图形的运动之矩阵运算》中（3）式我们知道矩阵乘积的转置等于转置矩阵的乘积，因此，正交矩阵的乘积构成的矩阵仍然为正交矩阵，于是，从参照系的角度考虑，我们可以得到结论：图形的刚体运动是由平移变换，旋转变换，反射变换以及这些变换的复合变换构成的。
欧几里得几何
通过上面的讨论，我们完成了对欧几里得曾经思考过 的运动的刻画，即完成了《原理》第四公理中关于“重合”的定义。这样，欧几里得《原理》中的第四公理以及希尔伯特《几何基础》的第三组合同公理中的第五个公理可以修改为：
经过平移，旋转，反射以及这些变换的复合得到的图形与原图形全等。
通过运动，我们终于能够对图形的“全等”给出一个清晰的定义了，并且可以在这个定义下讨论图形之间的关系，这样我们就把图形的运动引入了传统的平面几何。可是，这样引入图形的运动是不是过于小题大做，如此繁杂的内容中学生能够接受吗？事实上，我们仔细地审视上面的讨论就会发现，如果仅仅是为了表述平移，旋转，反射和全等的定义，我们只需要借助参照系，而不需要借助直角坐标系。我们引入直角坐标系（因而矩阵运算）的目的只是为了说明这样定义的合理性，只是为了揭示图形运动的实质。
进一步，我们可以给出平行线的定义：
通过平移得到的直线与原直线平行。
这个定义远比“称两条永远不相交的直线为平行线”准确，因为这个定义蕴含着我们只在很小的范围内讨论平行线的问题。另外，用定义代替欧几里得几何或者希尔伯特几何中关于“全等”和“平行”的公理可以避免很多不必要的麻烦，因为我们可以约定，只讨论与定义有关的图形的性质，这样就不需要顾及“公理”的科学性，以及公理体系的独立性和相容性等问题了。
仿射微分几何
这样定义还有一个更重要的好处，就是拉近了平面几何与现代数学的距离，甚至这样的几何教学可以为现代数学建立直观基础。对应线性变换Z=AX+H，如果假设A为正交矩阵，那就是我们在这一节所讨论的欧几里得几何，有时人们也称这样的几何为度量几何；如果假设A为行列式不是0的任意矩阵，同时引入无穷远元素，那么这就是射影几何所要研究的内容；如果在射影几何中假设无穷远点变换后仍然为无穷远点，那么这就是仿射几何所要研究的内容。特别是，如果把矩阵看作一种变换，把矩阵之间的乘法运算看作变换的复合，那么，我们现在所讨论的几何学就是群论或者近世代数中的，最为简单的，最为直观的特例。
射影几何
我们也可以看到，如果从群的角度考虑，那么，射影几何是最大的，其次是仿射几何，然后是度量几何。或许这些就是德国数学家F.克莱因（1849-1925）于1872年发表爱尔兰格纲领的思想动机，在这个纲领中，克莱因倡导利用不同的变换把几何学进行分类，进而研究在这种变换下图形不变的性质，即在变换前成立，在变换后仍然成立的那些性质。在克莱因之前，几何学是基于研究方法进行分类的：一个是非量化的方法，也被称为综合法，就像欧几里得几何那样；另一个量化的方法，也被称为分析法，就像笛卡尔发明的那样。而克莱因倡导的是基于研究内容对几何学进行分类，因此，这个纲领对几何学的发展影响重大。就图形不变的性质考虑，我们已经知道：
刚体变换对应于传统的欧几里得几何，这种几何保持距离不变，所以也保持角度，面积这些特性不变，于是可以建立全等这样的概念。
仿射变换对应于反射几何，这种变换保持直线仍然是直线，以及平行的性质不变，这种变换可以把三角形放大或者缩小，把圆压缩为椭圆，但从一般意义上说，三角形仍然是三角形，某种圆锥曲线仍然是这种圆锥曲线，因为欧几里得几何也满足这种性质，因此欧几里得几何是仿射几何的特例。
射影变换对应于射影几何，这种变换保持直线仍然是直线，因此可以保持几个点共线，几条线共点以及线段之间的比例这些特性不变，因为仿射几何也具有这些特性，因此仿射几何是射影几何的特例。
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