中考数学——角平分线的判定

昨天，我们讲解了角平分线的作法以及性质。

今天，我们将讲角平分线的判定。

我们知道，角平分线的性质定理的内容是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

用符号语言描述即（如图1）：

图1

∵ OC是∠AOB的平分线 ， PD⊥OA，PE⊥OB

∴ PD＝PE

想一想，如果我们把角平分线性质定理反过来，即：到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

下面我们证明看看

已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．

求证：点Q在∠AOB的平分线上．

图2

证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知）

∴∠QEO=∠QDO=90°

∴△OEQ与△ODQ均为直角三角形

∵QD＝QE（已知），OQ公共边

∴△OEQ≌△ODQ（HL）

∴OQ是∠AOB的平分线，即：点Q在∠AOB的平分线上。

综上可得：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

所以，角平分线的判定定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

因为到一个角两边距离相等的点有无数个，且这无数个点都在角平分线上。

所以：

角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合

下面我们举例说明角平分线的判定定理的应用：

例1. 如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出工厂的位置，并说明理由

图3

解：如图4所示，根据角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上，所以工厂的位置在角平分线上并且距离桥头500米，即图中P点所处的位

图4

例2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，

求证：点F在∠DAE的平分线上．

图5

思路：看到角平分线我们应想到经过角平分线上的某一点（本题F点）向角的两边引垂线。

证明：过点F作FG⊥AE,FH⊥AD,FM⊥CB,垂足分别为G、H、M

∴FG=FM,FH=FM

∴FG=FH

∴点F在∠DAE的平分线上．

以上我们能学习到：

1. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2. 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
3. 角平分线可以看做到角的两边距离相等的无数个点的集合。
4. 依据角平分线的性质和判定定理作辅助线。