函数的对称性与周期性的一些结论

1.与函数奇偶性有关的结论

（１）如果函数 ｆ（ｘ）是偶函数，那么 ｆ（ｘ）＝ ｆ（ ｜ ｘ ｜ ）．

（２）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 ｆ（ ｘ） ＝ ０，ｘ∈Ｄ，其中定义域 Ｄ 是关于原点对称的非空数集.

（３）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

2.有关周期函数的几个常用结论

周期函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）满足：

（１）若 ｆ（ｘ＋ａ）＝ ｆ（ｘ－ａ），则函数的周期为 ２｜ａ｜ ；

（２）若 ｆ（ｘ＋ａ）＝ －ｆ（ｘ），则函数的周期为 ２｜ａ｜ ；

（３）若 ｆ（ｘ＋ａ）＝ －１/ｆ（ｘ），则函数的周期为 ２｜ａ｜ ；

（４）若 ｆ（ｘ＋ａ）＝１/ｆ（ｘ），则函数的周期为 ２｜ａ｜ ；

（５）若函数 ｆ（ ｘ） 的图象关于直线 ｘ ＝ ａ 与 ｘ ＝ ｂ 对称，那么函数ｆ（ｘ）的周期为 ２｜ｂ－ａ｜ ；

（６）若函数 ｆ（ｘ）的图象既关于点（ａ，０）对称，又关于点（ｂ，０）对称，则函数 ｆ（ｘ）的周期是 ２｜ｂ－ａ｜ ；

（７）若函数 ｆ（ｘ）的图象既关于直线 ｘ ＝ ａ 对称，又关于点（ ｂ，０）对称，则函数 ｆ（ｘ）的周期是 ４｜ｂ－ａ｜ ；

（８）若函数 ｆ（ｘ）是偶函数，其图象关于直线 ｘ ＝ ａ 对称，则其周期为 ２｜ａ｜ ；

（９）若函数 ｆ（ｘ）是奇函数，其图象关于直线 ｘ ＝ ａ 对称，则其周期为 ４｜ａ｜ ．

3.典题剖析