数列的几何意义

两个简单的中学问题：

1.从1到10十个数加起来等于多少？

高斯说等于55（这个梗，大家都知道就不普及了）

2.从0到10所有数加起来等于多少？

我听过好多答案，无穷大，50，无解

几何映射

在坐标上作函数f(x)=x直线，也即45度斜线。

在x轴上，任意一个数a，对应y轴一个a值，对应一段长度为a的线段。这样从0到10所有数值相加，等于函数f(x)与x轴在0到10之间所对应的线段之和，也即等于其组成的三角形面积。

高斯说从1到10之间，十个整数相加都55。

从0到10所有数字相加和居然为50。

这不是部分和大于整体和了？

先不要着急，接着往下走，数列的几何意义。

在坐标上作函数f(x)=x直线，也即45度斜线。在x轴上以自然数取值，在函数上取值，并在f(n)与f(n+1)作相应矩形。

本例中从1到10十个数相加等于10个矩形之和，也即等于大三角形与10个小三角形之和。

作数列通项公式函数f(x) 图像，以x轴自然数作矩形框，这样数列每一项对应一个等效面积的矩形框。所有矩形方框的面积即为数列和。

假设通项公式a_n=f(x)，函数f(x)的积分函数为F(x)。函数前n项和实际上是黎曼积分的特殊形式

上述公式中b=n,a=0的特殊情况

根据通项公式函数积分求解数列和直接近视误差太大，每一项差一个三角形面积。

第n项三角形面积

前n项三角形面积和

数列前n项和，等于通项公式函数与x轴围成的面积与前n项三角形面积的和。

调和级数

通项公式a_n=1/n，作对应函数f(x)=1/x (1≪x≪n+1),分别在x轴上找正整数1到n+1,间做宽度为1的矩形，如下图。

那么，矩形面积S_1=f(1)∗1=a_1 ，同理S_n=a_n。这样调和级数s_n等于所有矩形框面积之和。同时调和级数s_n等于f(x)曲线与x轴围成的面积与蓝色小三角形面积之和。

那么调和级数

由此可推出，欧拉常数γ等于蓝色小三角面积之和，也即γ=s_∆

欧拉常数γ等于下图蓝色小三角面积之和，也即γ=s_∆

单个蓝色小三角形面积

小三角形面积最大s_∆1=1-ln⁡(2)

作对应函数f(x)=1/(x-1) (2≪x≪n+1), 如上图红线。与矩形框围成的红色小三角形面积为s_∇单个红色小三角形面积

任一组红三角形面积与蓝三角形面积之和 s_∆n+s_∇n=f(n)-f(n+1)=1/(n(n+1))

所有的红三角形面积与蓝三角形面积之和 s_∆+s_∇=1

红三角形面积和 s_∇=1-γ

所以欧拉常数γ 实际上是，f(x)=1/x割矩形框高（f(n+1)-f(n)）*宽（1）的所有曲边三角形面积和。

如果曲线割方面积有新的解法，欧拉常数γ会有新的更精确的公式解法。否则最精确的几何解法还是

思考

1.为啥x轴取值不是0到n，而是1到n+1？

2.为啥不是ln(n)而是ln(n+1)?

感谢大家看完，希望有所启发，欢迎大家积极留言。

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