【线性代数的本质】为什么说线性代数研究的是空间变换?_哔哩哔哩_bilibili
注:
1.在线性代数中 ,常常不把点看成是点,而是看成是一个由原点出发的向量。所以,点的坐标相当于是向量的坐标。
2.正方形(图中灰色图形)可以看成是由一大堆向量组成的图形,对这一堆向量进行A变换,即对正方形里面所有的向量都做一个A变换。A变换是让横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变。
3.A变换对应的变换是拉伸变换。
4.矩阵乘法就是在做一个空间变换。
注:
1.任何一个向量在被B作用后,将会逆时针旋转θ的角度。为何?
答:
下面看矩阵乘法为何是不可交换的?
注:
1.1和2的过程,假如结果一样,就认同矩阵乘法可交换,假如结果不一样,就认为矩阵乘法不可以交换,即不满足交换律。
2.矩阵的乘法虽然没有交换律,但是有结合律。
注:
1.
注:
1.对于二维图形来说,是面积的一个放大率。
2.对于三维图形来说,是体积的一个放大率。
3.旋转变换不会改变图形的面积,所以旋转变换放大率是1。
4.行列式的几何意义:图形左乘矩阵做空间变换前后的一个放大率。
空间变换的两种特殊情况:
情况1:
空间变换的矩阵中有负值:
情况2:
空间变换的行列式等于0.
注:
1.这个空间变换后,图像看起来像是被压扁,从二维的图像变成了一维的线了(降维)。而线段没有面积,所以放大率是0(相当于面积乘以0).
2.空间变换也可以把三维的物体变成二维的图像。
注:
1.假如空间变换对于的矩阵,使得图像是在同一个维度之间发生变化的,比如二维图像的拉伸,旋转(此时的空间变换矩阵的行列式不会为0,拉伸的话,行列式是一个数值,旋转的话,行列式的值的1),那么这个过程还是可以变回去的,就意味着空间变换矩阵是可逆的。
2.假如空间变换是让三维的图像变成了二维(此时的空间变换矩阵的行列式一定为0),或者让二维的图像变成了一维(此时的空间变换矩阵的行列式也一定为0),那么这个过程就是不可以变回去的,这意味着空间变换矩阵是不可逆的。
联系客服