【趣味数学】利用同余性质解决余数问题

思考一下下面几道题目，看看能不能轻松解答？学完这一章，就轻松啦

① 412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

② 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？

③ 987×3784×4323的结果，除以29，余数是几？

④ 2015²⁰¹⁶÷19，余数是几？

⑤ 1＋2²＋3³＋4⁴＋5⁵＋6⁶＋7⁷＋8⁸＋9⁹的结果除以3，余数是几？

213÷7＝30余3，这里的213就是被除数，7是除数也称为模，30是商，3是余数。由于商在余数问题中不太重要，我们关注的是余数，所以这样的一个式子，往往可以记作213（mod 7）＝3，这个在电脑里可以试一下，你在excel表里打一个公式“＝mod(213，7)”就可以看到结果3

2个数a和b，除以同一个数m，余数如果一样，那么就叫做a和b对于模m同余。用公式表达为：a≡b（mod m），对于这样的2个数同余，有多个有用的性质，可以用于解决一些看起来非常复杂的问题，把复杂问题简单化。

一、同余性质

（一）同余可以传递

a≡b（mod m）且 b≡c（mod m） ==> a≡c（mod m）

这个应该比较好理解，比如23≡2725（mod 7）且 23≡2347（mod 7） ==> 2725≡2347（mod 7）

（二）同余可以加减

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a≡b（mod m）且 c≡d（mod m） ==> a±c≡b±d（mod m）

这个也比较简单，比如30≡16（mod 7）且 8≡15（mod 7） ==> 22≡1（mod 7）

（三）同余可以相乘

a≡b（mod m）且 c≡d（mod m） ==> a×c≡b×d（mod m）

这个从直接理解上稍微有点难，不过记住有这样的性质就行了，比如9≡16（mod 7）且 8≡15（mod 7） ==> 72≡240（mod 7）

（四）同余可以乘方

a≡b（mod m） ==> aⁿ≡bⁿ（mod m）

如果你能理解上面一个性质，那么这个就很容易理解了，不就是重复乘了n次么，比如2≡5（mod 3） ==> 2⁴＝16≡5⁴＝625（mod 3）

（五）同余相减余数0

a≡b（mod m） ==> (a－b)（mod m）＝0

换句话说，如果2个数同余，那么这2个数的差肯定能被整除。这个很好理解啊，就是本来都带着同样的尾巴（余数），相减的时候尾巴没了，自然能被整除了啊。

这个性质看起来不起眼，但是在做一类“已知被除数、余数，求除数”问题是，很有用。

二、同余性质的运用

（一）求除数

例1：412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

按照上面的性质五“同余相减余数0”，3个数字两两相减，得到279、124、155三个数，他们都可以被那个自然数整除。那么只需要求这3个数的最大公约数：279＝3×93＝3×3×31；124＝4×31；155＝5×31 所以最大公约数是31，也就是说原题求解的答案是31

例2：如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？

这个题，按照通常做法，三个数字减去74，408、918、1020被同一个数整除408＝2×2×2×3×17；918＝2×3×3×3×17；1020＝2×2×3×5×17 所以公约数是2、2×3、3×17、2×3×17，又因为余数为74，除数必须大于74，所以复合要求的答案只有2×3×17＝102

感觉传统做法是不是太复杂？如果换做上面性质五来做呢，两两相减，612、102、510，这三个数的公约数，就要简单多了吧？因为很简单啊，102＝2×3×17，不要看了，他的因子51小于74，肯定不对，验证102能不能被612、510整除，一看就知道了，答案就是102

（二）求余数

例1：987×3784×4323的结果，除以29，余数是几？

用性质三“同余可以相乘”解决，987≡1（mod 29），3784≡14（mod 29），4323≡2（mod 29），所以，987×3784×4322≡1×14×2（mod 29），答案就是28啦

例2：2015²⁰¹⁶÷19，余数是几？

用性质四“同余可以乘方”解决，2015≡1（mod 19），2015²⁰¹⁶≡1²⁰¹⁶（mod 29）所以答案就是1啦

例3：1＋2²＋3³＋4⁴＋5⁵＋6⁶＋7⁷＋8⁸＋9⁹的结果除以3，余数是几？

主要用性质二“同余可以加减”、性质四“同余可以乘方”解决：首先3≡6≡9≡0（mod 3），所以3³≡6⁶≡9⁹≡0（mod 3）；再考虑4≡7≡1（mod 3），所以4⁴≡7⁷≡1（mod 3）；最后剩余硬骨头，2≡5≡8（mod 3），所以5⁵≡2⁵（mod 3）、8⁸≡2⁸（mod 3）

原题就等价于：1＋2²＋0＋1＋2⁵＋0＋1＋2⁸＋0求余，也就是对2²＋2⁵＋2⁸求余，2²＋2⁵＋2⁸＝2²×（1＋2³＋2⁶）

注意观察，由于2²≡1（mod 3），所以2³≡1×2（mod 3）,2⁶≡1³（mod 3）

题目就等价于：1×（1＋2＋1）求余，4除以3余1啊，所以题目最终答案就是1

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