综合评价是数学建模中的一类常见的问题,在国赛和美赛中都经常出现,例如国赛05年长江水质的综合评价、2010年上海世博会影响力的定量评估问题、2014年美赛“最好大学教练“问题、2015年的“互联网+”时代的出租车资源配等,这些都属于综合评价类问题。
综合评价问题是数学建模问题中思路相对清晰的一类题目,从每学期的综合测评、旅游景点的选择到挑选手机,评价类问题在生活中也是处处存在。
今天小编和大家一起梳理一下综合评价类问题的一般思路。
首先,综合评价模型一般步骤为:
1. 明确评价目的;
2. 确定被评价对象;
3. 建立评价指标体系(包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等);
4. 确定与各项评价指标相对应的权重系数;
5. 选择或构造综合评价模型;
6. 计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。
1. 选择恰当的评价指标
选取合理的评价指标是综合评价问题的第一步,要考虑四个准则——代表性、确定性、独立性、区别能力。
代表性:各层次指标能最好地表达所代表的层次;
确定性:指标值要确定、可量化,高低在评价中有确切的含义;
独立性 :选定的指标要互相独立,不能相互替代;
区别能力/灵敏性:指标有一定的波动范围。
当建模过程中需要确定评价指标时,我们首先要将赛题中给出的指标考虑进来,然后再从不同维度确定评价指标,这个时候我们应该大量查阅相关文献,看看类似问题前人都选取了哪些指标,在全面考虑问题的基础上,尽可能选择被广泛利用的指标。
例如在05年国赛题目《长江水质的综合评价》中,题目中给出了评价水环境的指标:溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮、PH值四项指标;例如当我们选择一个旅游景点时,可能选取的指标有景色、费用、居住环境、饮食、旅途等指标。
2. 评价指标的规范化处理
在我们选取的众多评价指标中,有些指标数值越大越好(“极大型”指标),有些指标越小越好(“极小型”指标),有些指标是在一定范围内(“区间型”指标)。
极大型指标:总是期望指标的取值越大越好;
极小型指标:总是期望指标的取值越小越好;
中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大,也不要太小为好,即取适当的中间值为最好;
区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。
举个小例子吧,比如我们在期末进行综合测评时,评价指标中有学习成绩、缺课率等,学习成绩这项指标是取值越大越好,是极大型指标,学习成绩越高,综合测评得分相应越高;缺课率这项指标是越小越好,是极小型指标,缺课率越高,综合测评得分越低。
因此,我们需要对指标进行一致化处理,将所有的指标转化为极大型指标或者极小型指标。
2.1 指标一致化处理
下面,我们将给出将极小型指标、中间型指标、区间型指标极大化的方法,通过一致化处理后,所有指标化为极大化的指标。
(1) 极小型指标
对于某个极小型指标 x,则通过变换,或变换,其中M为指标 x 的可能取值的最大值,即可将指标极大化。
(2) 中间型指标
对于某个中间型指标 x,则通过变换
其中 M 和 m 分别为指标的可能取值的最大值和最小值,即可将中间型指标 x 极大化。
(3) 区间型指标
对于某个区间型指标,则通过变换
其中 [a,b] 为指标的最佳稳定的区间,c=max{a-m,M-b},M 和 m 分别为指标 x 的可能取值的最大值和最小值。即可将区间型指标极大化。
进行指标的一致化处理以后,各项指标都化为了越大越好的极大型指标,但是还有一个问题是,不同的指标单位和数量级不同,可能会出现“大数吃小数”的情况,因此我们需要对这些指标数据进行无量纲化处理。
2.2 指标无量纲化处理
无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法有标准差法、极值差法和功效系数法等。
假设 m 个已经进行一致化处理的评价指标
并都有 n 组样本观测值
现在将其作无量纲化处理,
(1) 标准差方法
(2) 极值差方法
(3) 功效系数法
其中 c,d 均为确定的常数。c 表示“平移量”,d 表示“旋转量”,即表示“放大”或“缩小”倍数,则
譬如若取c=60,d=40,则
3. 确定各评价指标的权重
一般指标权重的确定分为两种:主观定权法和客观定权法。常用的主观定权法包括层次分析法、模糊综合评价法等;常用的客观定权法包括变异系数法、主成分分析和因子分析法、熵值法等,综合评价模型可以参考之前的推文——层次分析法告诉你如何选择一部手机,后续我们会专门介绍指标权重的确定方法。
4. 综合评价模型
(1) 线性加权法
用线性加权函数
作为综合评价模型,对 n 个系统进行综合评价。
线性加权综合法的适用条件为各评价指标之间相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法,其结果将导致各指标间信息的重复,使得评价结果不能客观地反映实际。
(2) 非线性加权法
用非线性函数
作为综合评价模型,对 n 个系统进行综合评价。其中
非线性加权综合法适用于各指标间有较强关联的情况。
联系客服