这一节最精彩的地方是通过链式法则将梯度向量，方向导数和偏微分总结在一起。梯度向量，方向导数是一些比较容易混淆的概念，Denis的讲解，清晰易懂，几个例子也是非常有趣。关于梯度看这个足够了。直接使用的结论如果不明白请查找最后的传送门。
回顾一下链式法则：
w的变化是由x，y，z的变化引起的。x，y，z又分别以自己的速度变化，通过的偏导数的影响直接影响原函数。偏导数告诉我们w对每个变量变化有多敏感。
用一种新的写法：
这个向量包含了所有的偏导数。每个点都会有一个向量。可以称为函数w在某一点（x,y,z）处的 梯度 （gradient）。r对t的微分就是 速度向量（velocity vector）。
定理: 令w为常数，梯度向量垂直于原函数等值面。如图，画出函数的等高线，梯度向量是指向函数值更大的方向，并且垂直于等高线（投影于2维情况）。
看一种最简单的情况：
寻找这个函数的等值面，令w=c
发现，等值面就是平面。由于平面的法向量是
这个平面的法向量就是梯度向量。
其实，对任何函数，都可以有这种线性的近似来代替函数本身。这意味着用切平面取代等值面。
再来看一个例子：
当w=c时，在等值面上有梯度向量<2x,2y>，如图所示，垂直于等值面：
要理解向着等值曲线内部移动会发生什么？假设在等值曲线上有一个动点，这会令函数值保持为一个常数。通过链式法则，我们能够知道函数变化有多快。链式法则就是理解梯度向量和等值面之间的关键点。
令 r=r(t) 是一条在等值面 w=c 上的曲线
首先观察速度向量，这个动点的速度向量和曲线相切，和等值面相切。
速度向量v和平面w=c相切，根据链式法则，我们知道w是如何变化的：
由于一直在等值面上运动，所以速度是0，所以
可以推出，梯度向量和速度向量垂直：
更进一步的说，这对任何w=c上的动点，都成立。
如果用二维来说，会有等高线，运动方向是切向量方向，梯度垂直于切向量。
找到 x^2+y^2-z^2=4 在点(2,1,1)的切平面。这个函数叫做双曲面（hyperpoloid），长得像这个样子：
这是 w=x^2+y^2-z^2 在w=4时的等值面。梯度向量是：
这是曲面或者是切平面的法向量。 在给定点处，曲面和切平面有相同的法向量。得到切平面的方程：
带入点（2，1，1），得到C=8。切平面和梯度向量如图所示：
换一个角度，使用微分来考虑：
方向导数是梯度的一个应用。
方向导数是沿着某方向上的导数，例如x轴，y轴。方向导数衡量了函数沿着某方向的变化情况。
在某点（x,y)开始，有一个向量u，沿着u的方向直线移动。同时有一个二元函数w(x,y)，沿着u的方向，变化有多快？
将直线的轨迹参数化：
这个问题实际上就是求：
定义：函数w沿着u方向的方向导数，不局限于坐标轴方向：
学习偏导数的时候我们知道，偏导数是与x轴y轴平行的线做垂面所得到的截线的斜率。相似的，方向导数是沿着方向向量的垂面截取图像，得到的截线的斜率。
链式法则里，就讲解过如何去求解了。现在，可视化这个问题。沿着3D图直线方向做垂面，可以得到这个垂面的截线，截线上的某点的斜率就是方向导数：
方向导数的计算
根据链式法则：
比如说在i方向上的方向导数：
i方向上的方向导数就是x方向的偏导数。
梯度向量和方向导数的关系
已经知道
当角度为0的时候，方向导数变化最大。所以梯度向量是在给定点处函数增加最快的向量。
当角度为180的时候，方向导数是负的梯度。
当角度为90的时候，运动方向与梯度向量垂直，相当于在等值面上运动，没有大小变化。此时与等值面相切。
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