矩阵的秩,大家都有所了解,我之前也有讲过,指的是矩阵的线性无关的列/行的极大数,一般我们用rank(A)来表示矩阵的秩。
而对于线性方程组而言,又分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
齐次线性方程组:常数项全部为零的线性方程组,如果未知数的数量大于所给方程组的数量,则该齐次线性方程组有非零解,否则为全零解,主要是为了说明系数矩阵的秩小于未知数的数量,以此判断该非齐次线性方程组有非零解。
非齐次线性方程组:常数项不全为零的线性方程组,非齐次线性方程组的表达式为:Ax=b。
我们今天要讨论的便是通过分析矩阵的秩来判断非齐次线性方程组Ax=b的解。
我们可以将该非齐次线性方程组拆分为系数矩阵和增广矩阵,这样说比较抽象,我们给出一道例题。
如图所示,这道题目就是给定矩阵A和矩阵b,判断线性方程组Ax=b有无穷多解时候的充分必要条件是什么。
我们知道,在判断线性方程组Ax=b有无解的时候,往往用到矩阵的秩来表示。
要证明线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,R(A)=R(B),否则便无解。
而证明唯一解的充要条件是R(A)=R(B)=n;
证明无穷多解的充要条件是R(A)=R(B)<n。
因此对于这道题目而言,就很明确了,只要判断系数矩阵A和增广矩阵B的秩是否相等且小于n,既而便能判断a和d是否属于集合{1,2}。
如图所示,便能够给出解释,题目的要求是证明无穷多解,只要让系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等且小于n,那有且仅有一种情况,便是能够让矩阵A和矩阵B都能够进行初等变换后得到第三行都为零。
那要让第三行的数据都为零,只能满足a(a-1)是a-1的2倍,d(d-1)是d-1的2倍,那么只有当a=1或2,还有d=1或2的时候才能够满足。
最终便能够得到答案,应该是D选项。
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