二次函数的解析式能简单、全面、完整地反映二次函数中变量之间的对应关系，因此在探究二次函数的性质时往往首先求出二次函数的解析式。虽然二次函数与我们以前学过的一次函数、反比例函数一样，求解析式都是采用待定系数法，但也有很大不同：①二次函数的解析式的待定系数有三个，在求待定系数时比以前难度大，它需要三个条件才能确定；②二次函数的表达式有三种，需要根据题目条件合理选择，否则可能事倍功半，那么到底应该如何合理选择解析式的表达式求二次函数的解析式？
首先让我们先来认识一下二次函数的三种表达式：（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0) ；（2）顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k)；（3）交点式y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)其中x1、x2分别为二次函数与x轴的交点的横坐标。下面举例说明：
（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
【例1】已知二次函数的图象经过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求此二次函数的解析式.
分析：由已知三个点的坐标，代入二次函数的一般式可以得到三个方程，进而求出三个待定系数。
解：设该二次函数的解析式是y=ax2+bx+c(a≠0)，将已知三个点的坐标代入得方程组：
a- b+ c=10 a=2
a+ b+c=4 ∴ 解这个方程组得： b=-3
4a+2b+c=7 c=5
∴该二次函数的解析式是y=2x2-3x+5
归纳使用条件：已知三点的坐标.
（2）顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k)
【例2】已知二次函数的图象的顶点为（－2，3），且过点（－1，5），求此二次函数的解析式.
分析：将顶点坐标（－2，3）代入二次函数的顶点式，再利用点（－1，5）代入可以求出待定系数a即可.
解：设该二次函数的解析式是y=a(x+2)2+3(a≠0), 将点（－1，5）代入得：
5＝a(-1+2)2+3
∴a＝2
∴该二次函数的解析式是y=2(x+2)2+3.
归纳使用条件：已知顶点坐标、最值或对称轴等.
（3）交点式y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)其中x1、x2分别为二次函数与x轴的交点的横坐标
【例3】已知二次函数的图象与x轴交于点（－2，0），（4，0），且最值为－4.5. 求此二次函数的解析式.
分析：将－2和4代入二次函数的交点式，再利用最值为－4.5可以求出待定系数a即可.
解：设该二次函数的解析式是y=a(x+2)(x－4) (a≠0)，整理得：
y＝ax2-2ax-8a
＝a（x－1）2-9a
由题意可知：-9a＝－4.5 ∴a＝0.5
∴该二次函数的解析式是y＝0.5x2-x-4
归纳使用条件：二次函数与x轴的交点的横坐标.
下面有几个练习题，请大家自己试一试:
1.一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1，当x＝2与0.5时，y＝0，求此二次函数的解析式.
2. 已知二次函数的图象经过点（0，0）、（－1，－11）、（1，9）三点，求此二次函数的解析式.
3.二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标是－0.5，1.5，与y轴交点的纵坐标是－5，求此二次函数的解析式.
4. 已知二次函数的图象经过点（0，0）、（12，0），最高点的纵坐标为3. 求此二次函数的解析式.
