二次函数的解析式能简单、全面、完整地反映二次函数中变量之间的对应关系,因此在探究二次函数的性质时往往首先求出二次函数的解析式。虽然二次函数与我们以前学过的一次函数、反比例函数一样,求解析式都是采用待定系数法,但也有很大不同:①二次函数的解析式的待定系数有三个,在求待定系数时比以前难度大,它需要三个条件才能确定;②二次函数的表达式有三种,需要根据题目条件合理选择,否则可能事倍功半,那么到底应该如何合理选择解析式的表达式求二次函数的解析式?
首先让我们先来认识一下二次函数的三种表达式:(1)一般式y=ax2+bx+c(a≠0) ;(2)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k);(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)其中x1、x2分别为二次函数与x轴的交点的横坐标。下面举例说明:
(1)一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
【例1】已知二次函数的图象经过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点,求此二次函数的解析式.
分析:由已知三个点的坐标,代入二次函数的一般式可以得到三个方程,进而求出三个待定系数。
解:设该二次函数的解析式是y=ax2+bx+c(a≠0),将已知三个点的坐标代入得方程组:
a- b+ c=10 a=2
a+ b+c=4 ∴ 解这个方程组得: b=-3
4a+2b+c=7 c=5
∴该二次函数的解析式是y=2x2-3x+5
归纳使用条件:已知三点的坐标.
(2)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k)
【例2】已知二次函数的图象的顶点为(-2,3),且过点(-1,5),求此二次函数的解析式.
分析:将顶点坐标(-2,3)代入二次函数的顶点式,再利用点(-1,5)代入可以求出待定系数a即可.
解:设该二次函数的解析式是y=a(x+2)2+3(a≠0), 将点(-1,5)代入得:
5=a(-1+2)2+3
∴a=2
∴该二次函数的解析式是y=2(x+2)2+3.
归纳使用条件:已知顶点坐标、最值或对称轴等.
(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)其中x1、x2分别为二次函数与x轴的交点的横坐标
【例3】已知二次函数的图象与x轴交于点(-2,0),(4,0),且最值为-4.5. 求此二次函数的解析式.
分析:将-2和4代入二次函数的交点式,再利用最值为-4.5可以求出待定系数a即可.
解:设该二次函数的解析式是y=a(x+2)(x-4) (a≠0),整理得:
y=ax2-2ax-8a
=a(x-1)2-9a
由题意可知:-9a=-4.5 ∴a=0.5
∴该二次函数的解析式是y=0.5x2-x-4
归纳使用条件:二次函数与x轴的交点的横坐标.
下面有几个练习题,请大家自己试一试:
1.一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1,当x=2与0.5时,y=0,求此二次函数的解析式.
2. 已知二次函数的图象经过点(0,0)、(-1,-11)、(1,9)三点,求此二次函数的解析式.
3.二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标是-0.5,1.5,与y轴交点的纵坐标是-5,求此二次函数的解析式.
4. 已知二次函数的图象经过点(0,0)、(12,0),最高点的纵坐标为3. 求此二次函数的解析式.