在今天,几乎所有的小学生都会利用字母来推演公式,可是,学会从数字进行具体的运算到利用符号进行抽象的运算,人类却经历了漫长的岁月。第一个有意识地使用字母系数来表示抽象运算的是法国数学家韦达。在韦达之前,人们只解决带有数字系数的方程,比如,对于一元二次方程,认为像3X2+2X+1=0和2X2+3X+5=0这样两个方程是不一样的,虽然他们知道可以用同样的方法来求解。韦达用aX2+bX+c=0一般地表示一元二次方程,其中a,b,c这些字母系数可以表示任何数。因为把方程由数字系数抽象到了字母系数,于是研究的是整个一类方程的计算。还是以一元二次方程为例,令x1和x2分别为字母系数的一元二次方程的两个根,则有
对于具体的数字系数,只要代入上面的公式就可以得到两个解,多么简洁便利!由此也可以看到,抽象到符号体系,得到的结果往往就具有了一般性,因而也具有了更加广泛的应用性。还不仅如此,抽象到符号体系,还有利于研究方程的性质,由公式容易得到:
X1+X2=-b/a, X1*X2=c/a
这就清晰地表达了方程的根与系数之间的关系,为了纪念韦达,人们把一元二次方程的这个性质叫做“韦达定理”。
韦达在他1591年出版的《分析艺术引论》一书中,划分了算术与代数的区别,认为算术以及数字系数的方程是与数打交道,是数字计算,而代数是作用于事物的类别或形式上的方法,是类型计算。
韦达的符号表示告诉我们,可以像对“数”那样对“符号”进行运算,并且,通过符号运算得到的结果是具有一般性的。很显然,如果没有韦达给出的字母系数的表达方法,就不可能有代数学的发展。由此也可以进一步体会到,把事物抽象到符号表达是多么重要,是多么有效。
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