数的运算与扩张——算术与代数

在今天，几乎所有的小学生都会利用字母来推演公式，可是，学会从数字进行具体的运算到利用符号进行抽象的运算，人类却经历了漫长的岁月。第一个有意识地使用字母系数来表示抽象运算的是法国数学家韦达。在韦达之前，人们只解决带有数字系数的方程，比如，对于一元二次方程，认为像3X²+2X+1=0和2X²+3X+5=0这样两个方程是不一样的，虽然他们知道可以用同样的方法来求解。韦达用aX²+bX+c=0一般地表示一元二次方程，其中a,b,c这些字母系数可以表示任何数。因为把方程由数字系数抽象到了字母系数，于是研究的是整个一类方程的计算。还是以一元二次方程为例，令x1和x2分别为字母系数的一元二次方程的两个根，则有

对于具体的数字系数，只要代入上面的公式就可以得到两个解，多么简洁便利！由此也可以看到，抽象到符号体系，得到的结果往往就具有了一般性，因而也具有了更加广泛的应用性。还不仅如此，抽象到符号体系，还有利于研究方程的性质，由公式容易得到：

X1+X2=-b/a, X1*X2=c/a

这就清晰地表达了方程的根与系数之间的关系，为了纪念韦达，人们把一元二次方程的这个性质叫做“韦达定理”。

韦达在他1591年出版的《分析艺术引论》一书中，划分了算术与代数的区别，认为算术以及数字系数的方程是与数打交道，是数字计算，而代数是作用于事物的类别或形式上的方法，是类型计算。

韦达的符号表示告诉我们，可以像对“数”那样对“符号”进行运算，并且，通过符号运算得到的结果是具有一般性的。很显然，如果没有韦达给出的字母系数的表达方法，就不可能有代数学的发展。由此也可以进一步体会到，把事物抽象到符号表达是多么重要，是多么有效。