小学数学：探讨“分三角形面积成比例问题”

上小学六年级的孩子问了一道题，是苏教版教材62页的思考题，原题是这样的：

把下图中的三角形分成两部分，使这两部分面积的比是1:1，你能分一分吗？如果要使两部分面积的比是1:2，又该怎么分？

解析：方法不唯一，从底边上分学生容易理解，下面就从这个角度详细探讨.

为了便于说明，让我们给这个三角形起个名字：△ABC.如下图（1），取底边BC的中点D，连接AD，则AD就把△ABC分成面积相等的两部分，即S△ABD：S△ACD=1：1；如下图（2），把底边BC分成相等的3份，取其中的1份记为点E，连接AE，则S△ABE：S△ACE=1：2.

证明：（第一问）在△ABC中，作底边BC的高AM，如下图（3）所示，则AM既是△ABD的高，也是△ACD的高，即△ABD和△ACD的高是相等的，S△ABD：S△ACD=1/2×BD×AM：1/2×CD×AM=BD：CD，由作图可知BD=CD，因此，S△ABD：S△ACD=1:1.

（第二问）方法同上，在△ABC中，作底边BC的高AM，如下图（4）所示，则△ABE和△ACE的高是相等的，都是AM，S△ABE：S△ACE=1/2×BE×AM：1/2×CE×AM=BE：CE，由作图可知BE：CE=1：2，因此，S△ABE：S△ACE=1:2.

点评：也可以找AB或者AC上的点，方法类同. 解答此类题型的主要依据是：等底等高的三角形面积相等．

【拓展一】

过点A把△ABC分成两部分，使这两部分的面积比是2:3，你能分一分吗？如果要使两部分的面积比是m：n，又该怎样分？

解析：把底边BC分成2:3的两部分，分点记为P，连接AP，则S△ABP：S△ACP=2：3；若把底边BC分成m:n的两部分，分点记为Q，连接AQ，则S△ABQ：S△ACQ=m：n.

结论：若要把三角形分成两部分，使这两部分的面积比是m:n，只需把底边长分成m:n的两部分，连接分点和它相对的顶点即可.

证明方法同前两问，同学们可以试一试.

【拓展二】

把一个三角形分成三个面积相等的三角形，你能想出几种分法？

方法1：将三角形的一条边三等分，再将三等分点分别与这条边相对的顶点相连，所形成的三个三角形面积相等；

方法2：将三角形的一条边三等分，将一个三等分点与这条边所对的顶点相连，再将这个连线二等分，把二等分点与这条连线所对的顶点相连，所形成的三个三角形面积相等．

如下图所示：

【拓展三】

把△ABC分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？

解析：如下图所示：

方法一：将△ABC的底边BC四等分，分别连接AE、AF、AG，所得到的四个三角形的面积相等；

方法二：取底边BC的中点E，连接AE，再取AE的中点O，分别连接BO、CO，则所得到的四个三角形的面积相等；

方法三：分别找到三条边的中点D、E、F，再分别连接DE、DF、EF，所得到的四个三角形的面积相等；

方法四：先找到三角形的底边的四等分点中的E、F，分别连接AE、AF，再找到AF的两等分点O，再连接CO，所得到的四个三角形的面积相等.