上小学六年级的孩子问了一道题,是苏教版教材62页的思考题,原题是这样的:
把下图中的三角形分成两部分,使这两部分面积的比是1:1,你能分一分吗?如果要使两部分面积的比是1:2,又该怎么分?
解析:方法不唯一,从底边上分学生容易理解,下面就从这个角度详细探讨.
为了便于说明,让我们给这个三角形起个名字:△ABC.如下图(1),取底边BC的中点D,连接AD,则AD就把△ABC分成面积相等的两部分,即S△ABD:S△ACD=1:1;如下图(2),把底边BC分成相等的3份,取其中的1份记为点E,连接AE,则S△ABE:S△ACE=1:2.
证明:(第一问)在△ABC中,作底边BC的高AM,如下图(3)所示,则AM既是△ABD的高,也是△ACD的高,即△ABD和△ACD的高是相等的,S△ABD:S△ACD=1/2×BD×AM:1/2×CD×AM=BD:CD,由作图可知BD=CD,因此,S△ABD:S△ACD=1:1.
(第二问)方法同上,在△ABC中,作底边BC的高AM,如下图(4)所示,则△ABE和△ACE的高是相等的,都是AM,S△ABE:S△ACE=1/2×BE×AM:1/2×CE×AM=BE:CE,由作图可知BE:CE=1:2,因此,S△ABE:S△ACE=1:2.
点评:也可以找AB或者AC上的点,方法类同. 解答此类题型的主要依据是:等底等高的三角形面积相等.
【拓展一】
过点A把△ABC分成两部分,使这两部分的面积比是2:3,你能分一分吗?如果要使两部分的面积比是m:n,又该怎样分?
解析:把底边BC分成2:3的两部分,分点记为P,连接AP,则S△ABP:S△ACP=2:3;若把底边BC分成m:n的两部分,分点记为Q,连接AQ,则S△ABQ:S△ACQ=m:n.
结论:若要把三角形分成两部分,使这两部分的面积比是m:n,只需把底边长分成m:n的两部分,连接分点和它相对的顶点即可.
证明方法同前两问,同学们可以试一试.
【拓展二】
把一个三角形分成三个面积相等的三角形,你能想出几种分法?
方法1:将三角形的一条边三等分,再将三等分点分别与这条边相对的顶点相连,所形成的三个三角形面积相等;
方法2:将三角形的一条边三等分,将一个三等分点与这条边所对的顶点相连,再将这个连线二等分,把二等分点与这条连线所对的顶点相连,所形成的三个三角形面积相等.
如下图所示:
【拓展三】
把△ABC分成四个面积相等的三角形,可以怎样分?
解析:如下图所示:
方法一:将△ABC的底边BC四等分,分别连接AE、AF、AG,所得到的四个三角形的面积相等;
方法二:取底边BC的中点E,连接AE,再取AE的中点O,分别连接BO、CO,则所得到的四个三角形的面积相等;
方法三:分别找到三条边的中点D、E、F,再分别连接DE、DF、EF,所得到的四个三角形的面积相等;
方法四:先找到三角形的底边的四等分点中的E、F,分别连接AE、AF,再找到AF的两等分点O,再连接CO,所得到的四个三角形的面积相等.
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