初中数学：裂项法的求值技巧

裂项法指的是把参与求和的每项化成两个项，再让它们彼此之间互相抵消，以达到快速求和的目的.下面我们通过常见的四种形式进行评析.

【典例1】计算：

【思路分析】直接计算显然是不可能的，怎样才能快速简便的算出结果呢？我们知道：

这样，前一个分数裂出的第二项正好跟后一个分数裂出的第一项互为相反数，于是它们可以互相抵消了.

解：原式=

【点评】本题这种裂项相消的方法实际上是逆用分数或分式的加减运算，我们在分式（数）的加减运算时，不是要把两个分式（数）经过通分后化为一个分式（数）吗？这里，我们是把一个分式反过来化为两个分式的差.这种逆向思维的方法很重要，数学解题经常会用到，同学们要多加体会.

本题裂项的一般规律：

如果每个分数分母中的两个因式的差不是1，但是只要每个分数分母中的两个因式的差相等，也可以用这种裂项相消的方法解答，请看下题：

【典例2】计算：

【思路分析】本题虽然每个分母中两因数不是相邻的，但是经过观察发现，每个分母中两因数之差都相等，所以也可以仿照上题的方法计算.

解：原式=

【点评】本题裂项的一般规律：

若分母中是三个因数相乘，也可以利用这种裂项相消的方法计算，如下题：

【典例3】计算：

【思路分析】本题的各项分母中有三个因数连乘，难度比前两题大些，但仍然可以用裂项法相互抵消，前提是要进行恰当的裂项.

解：原式=

【点评】本题裂项的一般规律：

如果不是分数而是整数形式，也可以采用裂项相消的技巧计算.

【典例4】计算：1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）.

【思路分析】1×2=1/3（1×2×3-0×1×2）；2×3=1/3（2×3×4-1×2×3）；3×4=1/3（3×4×5-2×3×4）；…… ； n×（n+1）=1/3×[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）].

上面几个式子，上一个括号的前一项正好与下一个括号的后一项相反，连加之后就可以相互抵消了.

解：原式=1/3（1×2×3-0×1×2）+1/3（2×3×4-1×2×3）+1/3（3×4×5-2×3×4）+……+1/3[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]=1/3n（n+1）（n+2）.

【点评】本题是对整数情况进行裂项相消，需要一定的技巧和运算能力，必须理解式子 n×（n+1）=1/3[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）].

裂项法最关键的环节就是通过分裂，让参与求和的式子之间互相抵消.