——七上期末复习(16)
【例1】已知关于x的方程3[(2x+a)﹣7]+8=2(1.5x﹣a+40)的解为自然数,求正数a的最大值与最小值的和.
【分析】把a当作已知数,求出关于x的方程的解,再根据解为自然且a为正数即可求a的最大值与最小值.
【解答】去括号,得
6x+3a﹣21+8=3x﹣2a+80,
移项合并得3x=93﹣5a,
解得x=31﹣(5/3)a,
∵x为自然数,a为正数
∴(5/3)a应为小于31的正整数,且a必须是3的倍数
∵31恰如介于30(=5/3×18)与35(=5/3×21)之间,且a为正数.
∴a的最大值为18.最小值为3.
∴正数a的最大值与最小值的和是21.
【例2】求关于x的方程3x﹣5+a=bx+1.
(1)有唯一解的条件;
(2)有无数解的条件;
(3)无解的条件.
【解答】整理,得(b﹣3)x=a﹣6,
(1)当方程有唯一解时, b﹣3≠0,即b≠3;
(2)当方程有无数解时,得b﹣3=0且a﹣6=0,即a=6且b=3;
(3)当方程无解时,得b﹣3=0且a﹣6≠0,即a≠6,b=3.
【拓展1】已知关于x的方程a(2x﹣1)=4x+3b,当a,b为何值时,方程满足下列条件?
(1)方程有唯一解
(2)方程有无数个解
(3)方程无解.
【解答】方程移项合并得:(2a﹣4)x=3b+a,
(1)当方程有唯一解时,得2a﹣4≠0,即a≠2;
(2)当方程有无数个解时,得2a﹣4=0且3b+a=0,解得a=2,b=﹣1;
(3)当方程无解时,得2a﹣4=0且3b+a≠0,解得:a=2,b≠﹣2/3.
【拓展2】a为何值时,关于x的方程3(ax﹣2)﹣(x+1)=2(1/2+x)
(1)有唯一的解?(2)没有解?
【解答】由原方程,得3ax﹣6﹣x﹣1=1+2x,
(3a﹣3)x﹣8=0.
(1)当该方程有唯一解时,3a﹣3≠0,即a≠1;
(2)当该方程无解时,3a﹣3=0,即a=1.
【例3】关于x的方程||x﹣3/2|+b|=7有且只有三个解时,求b的值.
【解答】由||x﹣3/2|+b|=7,得
|x﹣3/2|+b=7或|x﹣3/2|+b=﹣7,
根据绝对值的意义,通常|x﹣3/2|=﹣b+7和|x﹣3/2|=﹣b﹣7均有两个解或一个解,
则但由已知,原关于x的方程有且只有三个解,
∴必有一个方程只有一个解.
下面分两种情况说明:
①当﹣b+7=0,解得b=7,此时|x﹣3/2|=﹣b﹣7无解(根据绝对值的非负性),不合题意;
②当﹣b﹣7=0,解得b=﹣7,此时|x﹣3/2|=﹣b+7=14有两个解,|x﹣3/2|=﹣b-7=0只有一个解,符合题意.
综上所述,b=﹣7.
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