图形的量化---解析几何：图形的位置（二）

坐标系

从解析几何：图形的位置（一）中的叙述我们可以看到，解析几何的核心思想就是建立一个参照系，借助参照系通过数量分析的方法研究几何图形及其变化。显然，参照系的维数应当等同于图形所在空间的维数，因此，平面上任意两条相交的直线都可以作为参照系，无论是垂直的还是不垂直的，就像笛卡尔所思考的那样。当然，一般情况下，用直角坐标系会更方便一些。另外，用一条射线和一个角度也可以作为平面图形的参照系，这便是极坐标。

最早使用极坐标的是发明了微积分的牛顿和瑞士数学家雅各布·伯努利（1654-1705）.后来，瑞士数学家赫尔曼（1678-1733）给出了直角坐标系到极坐标的变换公式，现在使用的极坐标表达形式是欧拉在1748年出版的《无穷分析引论》中确定的。下面，我们来建立直角坐标系和极坐标之间的关系。如图（1）所示

图（1）直角坐标系与极坐标

对于平面上的直角坐标系，令极坐标的原点与直角坐标系的原点重合，射线方向与x轴的正方向重合，这样，极坐标的角度就是与x轴之间的夹角。比如，考虑线段OA，其中点A的直角坐标为A(x,y)，对应的极坐标为（ρ，θ），其中ρ为线段长，θ为线段与x轴之间的夹角，那么用直角坐标表示极坐标

ρ=√x²+y²，tanθ=y/x

反之，用极坐标表示直角坐标有

x=ρ·cosθ,y=ρ·sinθ (1)

因为在直角坐标系中，过原点O和点A的直线方程为y=ax，其中a为斜率，即直线与x轴夹角的余玄，那么由（1）式可以得到这条直线的极坐标中的方程为

tanθ= a

利用极坐标处理圆以及与圆有关的运动轨迹是非常方便的，比如，在平面上圆的极坐标方程可以表示为

ρ²=r² (2)

其中r为圆的半径。伯努利曾经利用极坐标把直角坐标系中的双扭线方程(x²+y²)²=a²(x²-y²)简捷地表示为ρ²=a²cos2θ。在一般情况下，对于n维空间直角坐标系与极坐标之间地转换关系可以表示维

x₁=ρ·cosθ₁

x_i=ρ·sinθ₁...sinθ_i-1cosθ_i

......

x_n=ρ·sinθ₁...sinθ_n-1 i=2,...,n-1

这个变换在多重积分中被广泛使用。