坐标系
从解析几何:图形的位置(一)中的叙述我们可以看到,解析几何的核心思想就是建立一个参照系,借助参照系通过数量分析的方法研究几何图形及其变化。显然,参照系的维数应当等同于图形所在空间的维数,因此,平面上任意两条相交的直线都可以作为参照系,无论是垂直的还是不垂直的,就像笛卡尔所思考的那样。当然,一般情况下,用直角坐标系会更方便一些。另外,用一条射线和一个角度也可以作为平面图形的参照系,这便是极坐标。
最早使用极坐标的是发明了微积分的牛顿和瑞士数学家雅各布·伯努利(1654-1705).后来,瑞士数学家赫尔曼(1678-1733)给出了直角坐标系到极坐标的变换公式,现在使用的极坐标表达形式是欧拉在1748年出版的《无穷分析引论》中确定的。下面,我们来建立直角坐标系和极坐标之间的关系。如图(1)所示
图(1)直角坐标系与极坐标
对于平面上的直角坐标系,令极坐标的原点与直角坐标系的原点重合,射线方向与x轴的正方向重合,这样,极坐标的角度就是与x轴之间的夹角。比如,考虑线段OA,其中点A的直角坐标为A(x,y),对应的极坐标为(ρ,θ),其中ρ为线段长,θ为线段与x轴之间的夹角,那么用直角坐标表示极坐标
ρ=√x2+y2,tanθ=y/x
反之,用极坐标表示直角坐标有
x=ρ·cosθ,y=ρ·sinθ (1)
因为在直角坐标系中,过原点O和点A的直线方程为y=ax,其中a为斜率,即直线与x轴夹角的余玄,那么由(1)式可以得到这条直线的极坐标中的方程为
tanθ= a
利用极坐标处理圆以及与圆有关的运动轨迹是非常方便的,比如,在平面上圆的极坐标方程可以表示为
ρ2=r2 (2)
其中r为圆的半径。伯努利曾经利用极坐标把直角坐标系中的双扭线方程(x2+y2)2=a2(x2-y2)简捷地表示为ρ2=a2cos2θ。在一般情况下,对于n维空间直角坐标系与极坐标之间地转换关系可以表示维
x1=ρ·cosθ1
xi=ρ·sinθ1...sinθi-1cosθi
......
xn=ρ·sinθ1...sinθn-1 i=2,...,n-1
这个变换在多重积分中被广泛使用。
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