今天我们来梳理一下新人教数学教材第十六章二次根式的相关内容。二次根式是对实数领域的一个扩充,在学习完实数之后,在整个初中阶段,实数就成了最大的数的范畴。
二次根式来源于七年级下册“开平方”运算,实质就是平方根之间的加减乘除、乘法、绝对值和开方运算,以及运算定律对根式的应用。首先来说什么是二次根式的问题。
二次根式的三个性质,第一是非负性,第二是平方根的深化,第三是二次根式与绝对值之间的联系。其中二次根式的非负性有两个其一是自身非负数,另一个是被开方数非负数。
介绍最简二次根式的相关内容,被开房数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开发开的尽方的数或因式,课本就讲解这两点,但是在其中补充一句,分母中不含根号。
同类二次根式的相关定义:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。
分母有理化的相关定义: 原为无理数的分母化为有理数的过程,也就是将分母中的根号化去。
有理化因式的相关定义: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。
分母有理化的两种类型,其一分母是单项二次根式,分子和分母同时乘以同一个分母根式,其二是两项二次根式,这个时候要利用平方差公式在凑平法。
分母有理化的过程,①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;
二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。
积的算术平方根的性质: 积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
商的算术平方根的性质: 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式的乘除法要求: 二次根式乘、除法运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式。
二次根式的加法法则:二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。实质是乘法分配律的逆向应用问题,把二次根式看成分配系数。
对于二次根式的加减运算,实质就是合并同类二次根式,通常先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并。
简单汇总二次根式混合运算常规思路:确定运算顺序。灵活运用运算定律。正确使用乘法公式。在有些简便运算中也许可以化简,苏日安不要盲目先化简,最终结果必须是化成最简。字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。可以考虑把二次根式看成公因式。
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