肖博数学小题专练 (五) 函数与方程、函数的应用
一、选择题
1.函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的区间是(e≈2.718 28)( )
A.
0,
1
2
B.
1
2,1
C.(1,2) D.(2,3)
答案 A
解析 ∵f(x)=e
x+x-2,∴f(0)=1-2=-1<0,f
1
2 = e-
3
2
>0,
∴f(0)·f
1
2
<0,∴函数 f(x)=e
x+x-2 的零点所在的区间是
0,
1
2 。
2.已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应
值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6
则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2 个 B.3 个
C.4 个 D.5 个
答案 B
解析 依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据零点的存在
性定理可知, f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,
故函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 3 个。
3.函数 f(x)=
x
2+2x-3,x≤0,
-2+lnx,x>0
的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
2
解析 当 x≤0 时,令 x
2+2x-3=0,解得 x=-3;当 x>0 时,
令-2+lnx=0,解得 x=e
2。所以已知函数有 2 个零点,故选 C。
4.已知函数 f(x)=
1
2
x-cosx,则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为
( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
解析 作出 g(x)=
1
2
x与 h(x)=cosx 的图象,可以看到其在[0,2π]
上的交点个数为 3,所以函数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3,故选 C。
5.若函数 f(x)=x
2+2a|x|+4a
2-3 的零点有且只有一个,则实数
a 等于( )
A.
3
2 或- 3
2
B.-
3
2
C.
3
2
D.以上都不对
答案 C
解析 令|x|=t,原函数的零点有且只有一个,即方程 t
2+2at+
4a
2-3=0 只有一个 0 根或一个 0 根、一个负根,∴4a
2-3=0,解得
a=
3
2 或- 3
2 ,经检验,a=
3
2 满足题意。
6.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x
2,那么
3
函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点个数为( )
A.10 B.9
C.8 D.1
答案 A
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出 y=f(x)和 y=|lgx|的图
象,如图。又 lg10=1,由图象知选 A。
7.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程。
如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列
叙述中正确的是( )
A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油
D.某城市机动车最高限速 80 千米/时。相同条件下,在该市用
丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 对于 A 选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40
km/h 时的燃油效率大于 5 km/L,故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可
4
大于 5 千米,所以 A 错误。对于 B 选项,由图可知甲车消耗汽油最
少。对于C选项,甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,
故行驶 1 小时的路程为 80 千米,消耗 8 L 汽油,所以 C 错误。对于
D 选项,当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙
车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以 D 正确。
8.设函数 f(x)=e
x+2x-4,g(x)=lnx+2x
2-5,若实数 a,b 分
别是 f(x),g(x)的零点,则( )
A.g(a)<0
C.0
答案 A
解析 依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数 f(x)是增函数,
因此函数 f(x)的零点在区间(0,1)内,即 0
+3>0,函数 g(x)的零点在区间(1,2)内,即 1f(1)>0。
又函数 g(x)在(0,1)内是增函数,因此有 g(a)
选 A。
9.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示
为函数 y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于 240 毫克时,治疗
有效。设某人上午 8:00 第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最
迟的时间应为( )
A.上午 10:00 B.中午 12:00
5
C.下午 4:00 D.下午 6:00
答案 C
解析 当 x∈[0,4]时,设 y=k1x,把(4,320)代入,得 k1=80,∴y
=80x。当 x∈[4,20]时,设 y=k2x+b。把(4,320),(20,0)代入得
4k2+b=320,
20k2+b=0,
解得
k2=-20,
b=400,
∴y=400-20x。∴y=f(x)=
80x,0≤x≤4,
400-20x,4
由 y≥240 , 得
0≤x≤4,
80x≥240,
或
4
400-20x≥240。
解得 3≤x≤4 或 4
服药最迟应在当日下午 4:00,故选 C。
10.(2017·武汉高三调研)已知函数 f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-
1,1),使得 f(x0)=0,则实数 a 的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
答案 A
解析 依题意可得 f(-1)·f(1)<0,即(-2a-a+3)·(2a-a+3)<0,
解得 a<-3 或 a>1,故选 A。
11 . (2017·沈 阳 市 教 学 质 量 监 测 ) 已 知 函 数 f(x) =
2
x+2
2 ,x≤1,
|log2(x-1)|,x>1,
则函数 F(x)=f(f(x))-2f(x)-
3
2的零点个数是
( )
6
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 A
解析 令 f(x)=t,则函数 F(x)可化为 y=f(t)-2t-
3
2,则函数 F(x)
的零点问题可转化为方程 f(t)-2t-
3
2=0 有根的问题。令 y=f(t)-2t
-
3
2=0,即 f(t)=2t+
3
2,如图①,由数形结合得 t1=0,1
再由数形结合得,当 f(x)=0 时,x=2,有 1 个解,当 f(x)=t2时,有
3 个解,所以 y=f(f(x))-2f(x)-
3
2共有 4 个零点。故选 A。
12.(2017·江西南昌一模)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2-x)
=f(x),且当 x∈[1,2]时,f(x)=lnx-x+1,若函数 g(x)=f(x)+mx 有 7
个零点,则实数 m 的取值范围为( )
A.
ln2-1
6 ,
ln2-1
8
∪
1-ln2
8 ,
1-ln2
6
B.
ln2-1
6 ,
ln2-1
8
C.
1-ln2
8 ,
1-ln2
6
D.
ln2-1
6 ,
1-ln2
8
7
答案 A
解析 函数 g(x)=f(x)+mx 有 7 个零点,即函数 y=f(x)的图象与
y=-mx 的图象有 7 个交点。当 x∈[1,2]时,f(x)=lnx-x+1,f′(x)
=
1
x-1=
1-x
x
≤0,此时 f(x)单调递减,且 f(1)=0,f(2)=ln2-1。由
f(2-x)=f(x)知函数图象关于 x=1 对称,而 f(x)是定义在 R 上的偶函
数,所以 f(x)=f(-(2-x))=f(x-2),故 f(x+2)=f(x),即 f(x)是周期
为 2 的函数。易知 m≠0,当-m<0 时,作出函数 y=f(x)与 y=-mx
的图象,如图所示。
则要使函数 y=f(x)的图象与 y=-mx 的图象有 7 个交点,需有
-8m
-6m>f(6)
,即
-8m
-6m>ln2-1
,解得
1-ln2
8
1-ln2
6 。同理,
当-m>0 时,可得
ln2-1
6
ln2-1
8 。综上所述,实数 m 的取值范围
为
ln2-1
6 ,
ln2-1
8
∪
1-ln2
8 ,
1-ln2
6
。
二、填空题
13.若函数 f(x)=
2
x-a,x≤0,
lnx,x>0
有两个不同的零点,则实数 a
的取值范围是________。
答案 (0,1]
解析 当 x>0 时,由 f(x)=lnx=0,得 x=1。因为函数 f(x)有两
8
个不同的零点,则当 x≤0 时,函数 f(x)=2
x-a 有一个零点,令 f(x)
=0 得 a=2
x,因为 0<2x≤2
0=1,所以 0
围是 0
14.已知函数 f(x)=a
x+x-b 的零点 x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中
常数 a,b 满足 2
a=3,3b=2,则 n=________。
答案 -1
解析 a=log23>1,0
x=-x+b。在
同一平面直角坐标系中画出函数 y=a
x和 y=-x+b 的图象,如图所
示,由图可知,两函数的图象在区间(-1,0)内有交点,所以函数 f(x)
在区间(-1,0)内有零点,所以 n=-1。
15.我们把形如 y=
b
|x|-a
(a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字
中的“囧”字,故生动地称为“囧函数”,若当 a=1,b=1 时的“囧
函数”与函数 y=lg|x|的交点个数为 n,则 n=________。
答案 4
解 析 由 题 意 知 , 当 a = 1 , b = 1 时 , y =
1
|x|-1
=
9
1
x-1
(x≥0且x≠1),
-
1
x+1
(x<0且x≠-1)。
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数
y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有 4 个交点。
16.(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的
工作情况如图所示,其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的
工作时间和加工的零件数,点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午
的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3。
①记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,
Q3 中最大的是________;
②记 Pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则
P1,P2,P3中最大的是________。
答案 ①Q1 ②P2
解析 ①设线段 AiBi 的中点为 Ci(xi,yi),则 Qi=2yi(i=1,2,3)。
10
因此只需比较 C1,C2,C3三个点纵坐标的大小即可。不难发现 y1最
大,所以 Q1最大。②由题意,知 Pi=
yi
xi
(i=1,2,3)。故只需比较三条直
线 OC1,OC2,OC3的斜率即可,发现 P2最大。
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