【每日一题38】平行四边形“X”型构图求区域面积

38.平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，连接DE交AC与点F，AE:EB=1:2，

且S△AEF=6 cm^².

（1）求△AEF和△CDF周长比；

（2）求平行四边形ABCD中，其他三个区域：△ADF，△CDF，四边形EFCB的面积.

【每日一题37】分析解答（原题见页底“了解更多”链接）

（1）证明：∵AB为半圆的直径，

∴∠AEB=90º，

∵AB=AC，

∴CE=BE，

∵EF=AE，

∴四边形ABFC是平行四边形．

∵AB=AC，

∴平行四边形ABFC是菱形．

（2） 解：∵ AD=7，BE= CE= 2，

设CD=x，则AB=AC= 7+x，

方法一：连接BD，（如图1）

∵AB为半圆的直径，

∴∠ADB=90º，

∴AB²－AD²=CB²－CD²，

∴（7＋x）²－7²=4²－x²，

∴x1=1或x2=－8 （舍去）

方法二：如图1，连接BD，

∵AB为半圆的直径，

∴∠ADB=90º

可证△CDB∽△CEA

∴CD：CE=CB：CA

∴x（7+x）=8

∴x1=1或x2=－8 （舍去）

方法三：连接DE，（如图2）

∵四边形ABED是圆内接四边形

∴∠ADE+∠ABC=180º

∵∠ADE+∠CDE=180º

∴∠CDE=∠ABE

∵∠DCE=∠BCA

∴△CDE∽△CBA

∴CD：CE=CB：CA

∴x（7+x）=8

∴x1=1或x2=－8 （舍去）

∴S半圆=8π，

∴BD=根号（15），

∴S菱形ABFC=8根号（15）.

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