中考数学：相交线与平行线中的思想方法

注

思想一：方程思想

例1：如图所示，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度数．

【解答】解：设∠COD=x

∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，

∴∠COF=1/2∠BOC，∠EOD=1/2∠AOD

∵∠EOF=x+∠COF+∠EOD=170°，

∴∠COF+∠EOD＝170°-x

∵x+2∠COF+2∠EOD+90°=360°，

∴x=70°

∴∠COD＝70°．

思想二：转化思想

例2：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，A、E、C在同一直线上，试求BE和ED的位置关系，并说明理由．

解：如图，过点E作EF∥AB

∵AB∥CD，

∴EF∥CD

∴∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠D=∠2，∴∠DEF=∠2（等量代换）

同理，∵EF∥AB，∠1=∠B

∴∠BEF=∠1

∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°（平角定义）

∴∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°，

∴BE⊥ED

思想三：数形结合思想

例3：如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF+∠BMN＝180°．试说明：AB∥CD，MP∥NQ．

【分析】利用邻补角的性质和已知条件得出∠BMN+∠MND＝180°，进而得出AB∥CD；利用平行线的性质得出∠BMN＝∠DNF，进而得出∠PMN＝∠QNF，即可得出答案．

【解答】证明：∵∠CNF+∠BMN＝180°，∠CNF＝∠MND，

∴∠BMN+∠MND＝180°，

∴AB∥CD；

∴∠BMN＝∠DNF，

∵∠1＝∠2，

∴∠PMN＝∠QNF，

∴MP∥NQ．

【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．

思想四：分类讨论思想

例4：如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的不动点．其中PA与l1相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l2相交为∠3．

（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上运动，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系是否变化？

（2）若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系有怎样？说明理由．

【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1＝∠APE，∠3＝∠BPE．再由∠2＝∠APE+∠BPE即可得出结论；

（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段DC的延长线上与点P在线段CD的延长线上两种情况进行讨论．

【解答】（1）∠2＝∠1+∠3．

证明：如图1，过点P作PE∥l1，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠1＝∠APE，∠3＝∠BPE．

又∵∠2＝∠APE+∠BPE，

∴∠2＝∠1+∠3；

（2）①如图2所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠2＝∠3﹣∠1．

理由：过点P作PF∥l1，∠FPA＝∠1．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠FPB＝∠3，

∴∠2＝∠FPB﹣∠PFA＝∠3﹣∠1；

②如图3所示，当点P在线段CD的延长线上时，∠2＝∠1﹣∠3．

理由：过点P作PE∥l2，∠EPB＝∠3．

∵l1∥l2，

∴PE∥l1，

∴∠EPA＝∠1，

∴∠2＝∠EPA﹣∠EPB＝∠1﹣∠3．

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．