数学家华罗庚说得好:“数缺形时步直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。”可见数形结合思想是数学中重要的思想方法之一,它包含“以形助数”和“以数辅形“两个方面。
数量关系和空间图形是数学研究的两个主要方面,它们之间有着密切的联系、在一定条件下,它们之间可以相豆转化,相互渗透,即图形的问题可以通过函数、方程、不等式及代数式运算等代数方法来研究,使复杂的演绎推理过程变得简单;代数问题也可以借助图形使复杂抽象的演算过程变得直观明了。
数形结合思想是一种重要的数学思想方法,历来被命题者所关注,命题形式多样,填空、选择、综合题均可,特别在综合题中常与其他的数学思想一起进行考查。
例.如图,已知直线y=1/2x与双曲线y=k/x(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.
⑴ 求k的值;
⑵ 若双曲线y=k/x(k>0)上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;
⑶ 过原点O的另一条直线l交双曲线y=k/x(k>0)于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标。
解析:(1)∵点A的横坐标为4,
∴当x=4时,y=1/2×4=2.
∴点A的坐标为(4,2).
又∵点A是直线y=1/2x与双曲线y=k/x(k>0)的交点,
∴2=k/4.
∴k=8.
⑵解:如图,
∵点C在双曲线上,即当y=8时,x=1.
∴点C的坐标为(1,8),
过点A,C分别作x轴、y轴的垂线,垂足为M,N,两垂线交于D,得矩形ONDM,且M(4,0),N(0,8).
∵S矩形ONDM=OM·ON=32.
S△ONC=1/2NC·ON=4,
S△CDA=1/2CD·AD=9,
S△OAM=1/2OM·AM=4,
∴S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-
S△OAM=15.
⑶如图,
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形
∴OP=OQ,OA=OB.
∴四边形APBQ是平行四边形.
∴S△POA=1/4 S平行四边形APBQ=1/4×24=6.
设点P的横坐标为m(m>0且m≠4),则P(m,8/m).
过点P,A分别作x轴的垂线,垂足为E,F.
∵点P,A在双曲线上,
∴S△POE∴S△POE=S△AOF=4.
若0<m<4,如图,
∵S△POE +S梯形PEFA=S△POA +S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=6.
∴1/2·(2+8/m)·(4-m)=6.
解得m1=2,m2=-8(含去),
∴P点的坐标为(2,4).
若m>4,如图.
同理.S△AOF+S梯形AFEP=S△POA+S△POE,
∴S梯形AFEP=S△POA=6.
∴1/2·(2+2)·(m-4)=6.
解得m1=8,m2=-2(舍去).
∴P点的坐标为(8,1).
综上∴点P的坐标是(2,4)或(8,1).
数形结合思想把“数”这个抽象的概念与较为直观的“形”紧密地联系起来,产生思维的火花,从而达到简化问题、解决问题的目的。数形结合思想包含了转化、配方、分类讨论、方程等数学思想方法,可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。
数形结合思想方法就是要对一个问题尽可能做到全方位、多角度地认识,这样,一方面可以加强思维的深刻性,另一方面又可以开拓思路,培养思维的灵活性。数学的题型是千变万化,同学们在学习中要善于归纳和总结,把数形结合思想用好用活,提高我们的学习能力。
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