例1 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
点评:
此类题需要先建模(设未知数,列约束条件,列目标函数),后求解。此类问题对未知数没有整数要求,故求解方法同一般的线性规划问题一样,用技巧也行,用基本方法也行(建议多练练基本方法)。
第二类:未知数需要满足整数问题,并且交点坐标不是整数的情况
(2)目标函数为z=x+y,即y= -x+z,可知当直线截距取最小值时,目标函数取得最小值
(3)作直线即y= -x
(4)平移直线,直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A(18/5,39/5)时,截距最小
(5)z =x+y=57/5=11.4
由于18/5和39/5都不是整数,而最优解(x,y)中,x、y必须都是整数,所以,可行域内点A(18/5,39/5)不是最优解
(6)调整(解决此类问题重点)
由于x、y必须都是整数,所以将平行线继续向右平移到x+y=12
由x+y=12且2x+y=15,得x+y=12与可行域左边界的交点B(3,9) 由
得到x+y=12与可行域右边界的交点D(9/2,15/2),在BD线段上的整点均是本题的最优解,所以,B(3,9),C(4,8)都是最优解。
(注:若x+y=12时仍无整解出现,则需将平行线继续向右平移到x+y=13按上面方法寻找即可)
总结:
对于线性规划实际问题需求整数解时,需要对平行线进行移动,结合图像进行分析和计算,直到求出最小正整数解为止。同时此类题也需要同学们对基本方法的掌握,如果只掌握了交点法那种技巧,那么遇到此类题就束手无策了。
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