例 若
满足约束条件,z=3x+2y的最小值为-18,求k的值。
解:不能画出可行域?没事,我们可以画出一部分来
由z=3x+2y的最小值为-18,得直线:3x+2y=-18经过可行域。
分析:kx-y+1≥0,可知原点在该不等式表示的平面内,且直线kx-y+1=0过点(0,1),当k变化时,直线kx-y+1=0绕点(0,1)转动。对k进行讨论:
(1)当k=0时,由kx-y+1≥0,得y≤1,则可行域区域如图所示:
由z=3x+2y,得y=-3/2x+z/2,可知,截距最小时,z取得最小值。作直线y=-3/2x,向左平移时,截距变小,由于可行域左边不封闭,目标函数无最小值,与已知条件矛盾。
(2)当k>0时,kx-y+1=0得y=kx+1,则会出现以下几种情况:
a, 0<k≤1/2时,如图所示:
由于可行域左边不封闭,目标函数无最小值,与已知条件矛盾。
b,当k>1/2且y=kx+1与直线3x+2y=-18的交点位于G和H中间的E点时,如图所示:
结合图像很容易看到直线3x+2y=-18不是目标函数的直线,与已知条件矛盾。
c, 当y=kx+1与直线3x+2y=-18相交时,如图所示:
易知直线3x+2y=-18为目标函数的直线,符合题意,解方程组得交点坐标为(-4,-3),带入直线y=kx+1得k=1
d, 当k>1时,如图所示:
可行域左边不封闭,所以目标函数无最小值。
综上所述:k=1
总结:
解决可行域含参数且已在目标函数的最值求解参数的取值的问题,基本步骤还是线性规划数形结合五部曲的方法,只是,其中需要对参数的取值范围进行讨论,然后结合图像就可以得出参数的取值,重要的是含参数的直线方程经过定点,这是解决此类问题的一个关键点。
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