动态平衡中的力学问题是高考命题的热点,也是考生在解题过程中的易错点。其通过控制某些物理量,使物体的运动状态或受力情况发生缓慢变化。由于此种变化始终在“缓慢”地进行,物体在这一变化过程中便始终处于一系列的平衡状态之中。
对于动态平衡问题,解题时关键在于化“动”为“静”,“静”中求“动”,即无论怎样变化,物体始终处于平衡状态,物体所受外力的合力始终为零。在此类问题的求解过程中,利用解析法,即通过正交分解,建立各个力的函数关系式,利用数学函数知识来分析,运算过程往往非常繁杂。如能适当利用矢量的合成与分解,将平行四边形演化为三角形,结合数学平面几何的相关规律,在问题的处理过程中能达到化繁为简的效果。
一、动态三角形
1.适应条件
物体受三个力作用处于平衡,其中一个F0为恒力,大小方向均不变,另一个力F1方向不变,还有一个力F2方向时刻发生变化。
2.构建模型
物体在三个力作用下处于平衡状态,则任意两个力的合力与第三个力等大反向。由于合力与其两个分力能构建成平行四边形,进而可演化为三角形,因此,我们以恒力为参考,将此恒力F0反向延长,作带箭头的线段OA,使其大小等于该恒力F0,则有向线段OA表示另外两个力的合力。以方向不变的力为参考作射线OB,在该射线上任取一点C,连接CA,则有向线段OC表示方向不变的力F1,有向线段CA表示方向发生改变的力F2,沿射线OB移动点C,则可以通过此动态三角形,快速准确地判定的F1与 F2的改变情况。作出该模型图样如图1所示。
【例题1】如图2所示,半圆柱体P固定在水平地面上,其右端有一紧贴地面且竖直放置的挡板MN.在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q,整个装置处于平衡状态。现使MN保持竖直并且缓慢地沿地面向右平移,在Q滑落到地面之前的此过程中,试分析P对Q和MN对Q的弹力变化情况。
【解析】对小圆柱体Q进行受力分析,如图3所示。可知,重力mg恒定不变,MN对圆柱体Q的弹力N1方向不变,始终垂直于MN水平向左,满足动态三角形解法的条件。以恒力mg为参考,反向延长,作带箭头的线段OA,使其大小等于重力mg,以方向不变的弹力N1为参考,作射线OB,在射线OB上取一点C连接CA,则有向线段OC表示MN对圆柱体Q的弹力N1,有向线段CA表示半圆柱体P对圆柱体Q的弹力N2。由题分析可知,有向线段CA始终与P、Q两截面的圆心连线平行,当MN右移时,应将点C在OB射线上向左移动,此时,有向线段OC与CA的长度增大,即MN对Q的弹力N1和P对Q的弹力N2在挡板MN缓慢向右移时,两者均增大。
二、相似三角形
1.适应条件
物体受三个力作用处于平衡,其中一个F0为恒力,大小方向均不变,而另两个力F1与F2方向均在发生改变,且这两个力方向间的夹角亦在发生改变。
2.构建模型
物体在三个力作用下处于平衡,适应条件中的两个变力F1与F2的合力与恒力F0等大反向,将两个变力与其合力构建成平行四边形后,演化为三角形。此三角形我们称之为“矢量三角形”,在题干给出的示意图中找出一个三条边分别与“矢量三角形”的三边平行的三角形ABC,我们称之为“几何三角形”,则这两个三角形相似。作出该模型图样如图4所示。
在上图中:F0∥AB, F1∥AC, F2∥BC则
【例题2】如图5所示,半圆柱体P半径为R,其被固定在水平面上,在其截面圆心O1正上方有一光滑的小定滑轮被固定在水平墙面上的A点,小定滑轮到P边缘的水平切线的距离为h,在半圆柱体P上放一个光滑的小圆柱体Q,其截面圆心O2,Q的截面半径为r。现将一根轻绳绕过定滑轮后将小圆柱体Q系住后,缓慢地拉动Q,试分析在以后的过程中,绳对Q和P对Q的弹力变化情况。
【解析】对小圆柱体Q进行受力分析,如图所示,可知重力mg恒定不变,当弹力F与N在P缓慢上移时两者方向均发生改变,且两力方向间的夹角亦改变,满足相似三角形法的条件。令小滑轮右侧的绳长为X,作出小圆柱体P受力的力学“矢量三角形”,如图6所示,发现该三角形对应边表示的力N∥O1O2, F∥A O2, F0∥AO1,则“矢量三角形”与“几何三角形”AO1O2相似,则
则当拉动Q时,X减小,则绳对Q的弹力F减小,P对Q的弹力N大小不变。
三、辅助圆
1.适应条件
物体受三个力作用处于平衡,其中一个F0为恒力,大小方向均不变,而另两个力F1与F2方向均在发生改变,但这两个力方向间的夹角始终不变。
2.构建模型
物体在三个力作用下处于平衡,适应条件中的两个变力F1与F2的合力与恒力F0等大反向,将两个变力与其合力构建成平行四边形ABCD后,演化为三角形ABD。如图7所示。令平行四边形中两变力F1与F2方向间的夹角为,由平行四边形演化成的三角形中两变力对应边BA与AD间的夹角为θ,则α+θ=180°,可知当α一定时,θ亦为一个定值,当两变力F1与F2方向改变时三角形ABD的顶点A随之移动,但三角形的边BD大小(即长度)与方向(即该边所处位置)均不改变,且边BD对应的三角形的内角θ亦为一个定值,作出三角形ABD的外接圆,如图8所示,则为该外接圆的弦BD所对应的圆周角。当90°<α<180°,0°<θ<90°,弦在图8外接圆的直径右侧B1D1位置;当α=90°,θ=90°,此时弦就为外接圆的直径B2D2位置;当0°<α<90°,90°<θ<180°,弦在图8外接圆的直径左侧B3D3位置,有题干描述判定矢量三角形中对应A点的移动方向,在外接圆中沿圆周运动点A,即可判定力F1与F2的变化情况。
【例题3】如图9所示,半圆柱体P固定在水平面上,有一挡板MN,其延长线总是通过半圆柱体的圆心O,但挡板与半圆柱体不接触,在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q,整个装置处于静止状态,图示是这个装置的截面图,若用外力使MN绕O点缓慢地顺时针转动,在MN到达水平位置前的过程中,试分析MN对Q和P对Q的弹力变化情况。
【解析】对小圆柱体Q进行受力分析,如图所示,可知重力为恒力,当挡板MN缓慢转动时,弹力F与N的方向均发生变化,但这两个力方向之间的夹角为一个恒定不变的锐角,满足辅助圆解法。由于F与N的合力与重力等大反向,将他们构建平行四边形后演化为矢量三角形如图10所示,则在该三角形中的为一个钝角。由辅助圆的模型分析,作出该三角形的外接圆如图11所示,由题意分析可知,当挡板顺时针缓慢转动时,三角形的顶点A沿圆周亦顺时针移动,则可知辅助圆中对应边表示的力F增大N减小。
通过上面的分析,我们会发现,在图解法中,构建力学矢量三角形,将力学问题转化为数学平面几何问题,能使动态平衡状态下物体的受力变化情况分析的解题过程更加形象,思维过程更加流畅,给人一种焕然一新,豁然开朗的全新感受。
联系客服