高中物理：动态平衡状态下物体的受力变化情况

动态平衡中的力学问题是高考命题的热点，也是考生在解题过程中的易错点。其通过控制某些物理量，使物体的运动状态或受力情况发生缓慢变化。由于此种变化始终在“缓慢”地进行，物体在这一变化过程中便始终处于一系列的平衡状态之中。

对于动态平衡问题，解题时关键在于化“动”为“静”，“静”中求“动”，即无论怎样变化，物体始终处于平衡状态，物体所受外力的合力始终为零。在此类问题的求解过程中，利用解析法，即通过正交分解，建立各个力的函数关系式，利用数学函数知识来分析，运算过程往往非常繁杂。如能适当利用矢量的合成与分解，将平行四边形演化为三角形，结合数学平面几何的相关规律，在问题的处理过程中能达到化繁为简的效果。

一、动态三角形

1．适应条件

物体受三个力作用处于平衡，其中一个F₀为恒力，大小方向均不变，另一个力F₁方向不变，还有一个力F₂方向时刻发生变化。

2.构建模型

物体在三个力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大反向。由于合力与其两个分力能构建成平行四边形，进而可演化为三角形，因此，我们以恒力为参考，将此恒力F₀反向延长，作带箭头的线段OA，使其大小等于该恒力F₀，则有向线段OA表示另外两个力的合力。以方向不变的力为参考作射线OB，在该射线上任取一点C，连接CA，则有向线段OC表示方向不变的力F₁，有向线段CA表示方向发生改变的力F₂，沿射线OB移动点C，则可以通过此动态三角形，快速准确地判定的F₁与 F₂的改变情况。作出该模型图样如图1所示。

【例题1】如图2所示，半圆柱体P固定在水平地面上，其右端有一紧贴地面且竖直放置的挡板MN．在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态。现使MN保持竖直并且缓慢地沿地面向右平移，在Q滑落到地面之前的此过程中，试分析P对Q和MN对Q的弹力变化情况。

【解析】对小圆柱体Q进行受力分析，如图3所示。可知，重力mg恒定不变，MN对圆柱体Q的弹力N₁方向不变，始终垂直于MN水平向左，满足动态三角形解法的条件。以恒力mg为参考，反向延长，作带箭头的线段OA，使其大小等于重力mg，以方向不变的弹力N₁为参考，作射线OB，在射线OB上取一点C连接CA，则有向线段OC表示MN对圆柱体Q的弹力N₁，有向线段CA表示半圆柱体P对圆柱体Q的弹力N₂。由题分析可知，有向线段CA始终与P、Q两截面的圆心连线平行，当MN右移时，应将点C在OB射线上向左移动，此时，有向线段OC与CA的长度增大，即MN对Q的弹力N₁和P对Q的弹力N₂在挡板MN缓慢向右移时，两者均增大。

二、相似三角形

1.适应条件

物体受三个力作用处于平衡，其中一个F₀为恒力，大小方向均不变，而另两个力F₁与F₂方向均在发生改变，且这两个力方向间的夹角亦在发生改变。

2.构建模型

物体在三个力作用下处于平衡，适应条件中的两个变力F₁与F₂的合力与恒力F₀等大反向，将两个变力与其合力构建成平行四边形后，演化为三角形。此三角形我们称之为“矢量三角形”，在题干给出的示意图中找出一个三条边分别与“矢量三角形”的三边平行的三角形ABC，我们称之为“几何三角形”，则这两个三角形相似。作出该模型图样如图4所示。

在上图中：F₀∥AB, F₁∥AC, F₂∥BC则

【例题2】如图5所示，半圆柱体P半径为R，其被固定在水平面上，在其截面圆心O₁正上方有一光滑的小定滑轮被固定在水平墙面上的A点，小定滑轮到P边缘的水平切线的距离为h，在半圆柱体P上放一个光滑的小圆柱体Q，其截面圆心O₂，Q的截面半径为r。现将一根轻绳绕过定滑轮后将小圆柱体Q系住后，缓慢地拉动Q，试分析在以后的过程中，绳对Q和P对Q的弹力变化情况。

【解析】对小圆柱体Q进行受力分析，如图所示，可知重力mg恒定不变，当弹力F与N在P缓慢上移时两者方向均发生改变，且两力方向间的夹角亦改变，满足相似三角形法的条件。令小滑轮右侧的绳长为X,作出小圆柱体P受力的力学“矢量三角形”，如图6所示，发现该三角形对应边表示的力N∥O₁O₂, F∥A O₂, F₀∥AO₁，则“矢量三角形”与“几何三角形”AO₁O₂相似，则

则当拉动Q时，X减小，则绳对Q的弹力F减小，P对Q的弹力N大小不变。

三、辅助圆

1.适应条件

物体受三个力作用处于平衡，其中一个F₀为恒力，大小方向均不变，而另两个力F₁与F₂方向均在发生改变，但这两个力方向间的夹角始终不变。

2.构建模型

物体在三个力作用下处于平衡，适应条件中的两个变力F₁与F₂的合力与恒力F₀等大反向，将两个变力与其合力构建成平行四边形ABCD后，演化为三角形ABD。如图7所示。令平行四边形中两变力F₁与F₂方向间的夹角为，由平行四边形演化成的三角形中两变力对应边BA与AD间的夹角为θ，则α+θ=180°，可知当α一定时，θ亦为一个定值，当两变力F₁与F₂方向改变时三角形ABD的顶点A随之移动，但三角形的边BD大小（即长度）与方向（即该边所处位置）均不改变，且边BD对应的三角形的内角θ亦为一个定值，作出三角形ABD的外接圆，如图8所示，则为该外接圆的弦BD所对应的圆周角。当90°＜α＜180°，0°＜θ＜90°，弦在图8外接圆的直径右侧B₁D₁位置；当α=90°，θ=90°，此时弦就为外接圆的直径B₂D₂位置；当0°＜α＜90°，90°＜θ＜180°，弦在图8外接圆的直径左侧B₃D₃位置，有题干描述判定矢量三角形中对应A点的移动方向，在外接圆中沿圆周运动点A，即可判定力F₁与F₂的变化情况。

【例题3】如图9所示，半圆柱体P固定在水平面上，有一挡板MN，其延长线总是通过半圆柱体的圆心O，但挡板与半圆柱体不接触，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q,整个装置处于静止状态，图示是这个装置的截面图，若用外力使MN绕O点缓慢地顺时针转动，在MN到达水平位置前的过程中，试分析MN对Q和P对Q的弹力变化情况。

【解析】对小圆柱体Q进行受力分析,如图所示，可知重力为恒力，当挡板MN缓慢转动时，弹力F与N的方向均发生变化，但这两个力方向之间的夹角为一个恒定不变的锐角，满足辅助圆解法。由于F与N的合力与重力等大反向，将他们构建平行四边形后演化为矢量三角形如图10所示，则在该三角形中的为一个钝角。由辅助圆的模型分析，作出该三角形的外接圆如图11所示，由题意分析可知，当挡板顺时针缓慢转动时，三角形的顶点A沿圆周亦顺时针移动，则可知辅助圆中对应边表示的力F增大N减小。

通过上面的分析，我们会发现，在图解法中，构建力学矢量三角形，将力学问题转化为数学平面几何问题，能使动态平衡状态下物体的受力变化情况分析的解题过程更加形象，思维过程更加流畅，给人一种焕然一新，豁然开朗的全新感受。