换元法解一元二次方程

有些一元二次方程用常用的四种基本方法直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法求解都是比较繁杂的，此时如果采用换元法则可以化难为易，以简驭繁。请看：

例1解方程(x-√3-1)(x-√3-2）=2.

解析：按常规解法，一般是先去括号，把方程整理为一般形式，然后再考虑四种基本解法.但这里去括号时需要一定量的计算，再说整理为一般形式后能否顺利应用基本解法尚未知.注意到方程左边的两个因式，它们都含有x-√3，因此，我们可以以x-√3为“元”进行换元，即设x-√3=y，则原方程化为(y-1)(y-2)=2，

整理，得y^²-3y=0，y(y-3)=0，所以y=0或y=3，

当y=0时，x-√3=0，x=√3；

当y=3时，x-√3=3，x=3+√3，

故x₁=√3，x₂=3+√3.

例2 解方程(x-1)^²+(x-1+√2)^²=2.

解析：设x-1=y，则原方程可化为y^²+(y+√2)^²=2，

去括号，整理，得2y^²+2√2y+2=2，

即y^²+√2y=0，

所以y(y+√2)=0，

所以y=0，或y=-√2.

当y=0时，x-1=0，x=1；

当y=√2时，x-1=√2，x=1+√2.

故x₁=1，x₂=1+√2.

例3解方程(x+2-√3)(4x-2+√3)=3(2-√3)x.

解析：方程中两处出现2-√3，故可设2-√3=y，则原方程化为

(x+y)(4x-y)=3xy，

整理，得4x^²-y^²=0，

因式分解，得(2x-y)(2x+y)=0，

所以x₁=(2-√3)/2，x₂=-(2-√3)/2.

例4解方程36x^²-12x-35=0.

解析：如果直接用四种基本解法虽然可以解，但由于系数大，计算繁，容易出差错.注意到36x^²可化为(6x)^²，12x=2×6x，

故可设6x=y，则原方程可化为一个系数简单的方程

y^²-2y-35=0，从而(y-7)(y+5)=0，

所以y=7，或y=-5，故x₁=7/6，x₂=-5/6.

由上几例可见，所谓换元法事实上是从整体思想出发，运用整体处理的方法将问题分而治之，分步解决的一种解题方法.