有些一元二次方程用常用的四种基本方法直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法求解都是比较繁杂的,此时如果采用换元法则可以化难为易,以简驭繁。请看:
例1解方程(x-√3-1)(x-√3-2)=2.
解析:按常规解法,一般是先去括号,把方程整理为一般形式,然后再考虑四种基本解法.但这里去括号时需要一定量的计算,再说整理为一般形式后能否顺利应用基本解法尚未知.注意到方程左边的两个因式,它们都含有x-√3,因此,我们可以以x-√3为“元”进行换元,即设x-√3=y,则原方程化为(y-1)(y-2)=2,
整理,得y^2-3y=0,y(y-3)=0,所以y=0或y=3,
当y=0时,x-√3=0,x=√3;
当y=3时,x-√3=3,x=3+√3,
故x1=√3,x2=3+√3.
例2 解方程(x-1)^2+(x-1+√2)^2=2.
解析:设x-1=y,则原方程可化为y^2+(y+√2)^2=2,
去括号,整理,得2y^2+2√2y+2=2,
即y^2+√2y=0,
所以y(y+√2)=0,
所以y=0,或y=-√2.
当y=0时,x-1=0,x=1;
当y=√2时,x-1=√2,x=1+√2.
故x1=1,x2=1+√2.
例3解方程(x+2-√3)(4x-2+√3)=3(2-√3)x.
解析:方程中两处出现2-√3,故可设2-√3=y,则原方程化为
(x+y)(4x-y)=3xy,
整理,得4x^2-y^2=0,
因式分解,得(2x-y)(2x+y)=0,
所以x1=(2-√3)/2,x2=-(2-√3)/2.
例4解方程36x^2-12x-35=0.
解析:如果直接用四种基本解法虽然可以解,但由于系数大,计算繁,容易出差错.注意到36x^2可化为(6x)^2,12x=2×6x,
故可设6x=y,则原方程可化为一个系数简单的方程
y^2-2y-35=0,从而(y-7)(y+5)=0,
所以y=7,或y=-5,故x1=7/6,x2=-5/6.
由上几例可见,所谓换元法事实上是从整体思想出发,运用整体处理的方法将问题分而治之,分步解决的一种解题方法.
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