2019东城二模24题探究：函数图像法求解弹簧模型中的最值问题

上一篇文章我们讲了数形结合思想解决灯泡功率问题中的应用，这次我们来讲讲函数图像法在解决弹簧模型最值问题中的应用。

各位请看题：【题目来自于2019年东城二模理综试卷物理部分】

本题第（1）（2）问考查的是弹簧类碰撞模型（动量守恒，机械能守恒），其中

第（1）问考查的是完全非弹性碰撞，即当AB共速时，弹簧的弹性势能最大：

第（2）问考查的是弹性碰撞，当弹簧恢复原长时，B的速率最大。

如果我们将AB的运动过程用v-t图象来表示一下的话，会是下图：

可见A和B的速度都是关于时间的变量。

第（3）问如是说：

“若在滑块B的右侧某处固定一弹性挡板C，挡板的位置不同。。。此后运动过程中，AB系统的弹性势能的最大值为E_Pm，挡板位置不同，E_Pm的数值不同，求E_Pm的最小值。”

题目的意思翻译过来就是：挡板位置不同，碰撞的时刻就不同，对应碰撞时B的速度就不同，对应的弹性势能也就不同。思考之后，我们会发现这其实是一个求函数最值的问题（注意这题是要求物理最大值的数学最小值）

面对这类问题，第一步：我们要先根据题意建立函数表达式：

设B与挡板碰撞前瞬间的速度为v₁，根据动量守恒定律，我们会发现：

B与挡板碰撞后瞬间速度变为- v₁，之后A、B及弹簧组成的系统动量守恒，当AB再次共速时，系统的弹性势能最大，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式即可。

将v₂用v₁表示后，代入上述的能量守恒式，可得

第二步：观察函数表达式，绘制函数图像。

这是一个二次函数，其中自变量为v₁，根据前面求得的结果，我们可知道v₁的定义域为

其函数图像如下：

由图可知，

其实高考对函数思想的考查由来已久，比如闭合电路中外电路电阻多大时输出功率最大，比如高度一定时，绳长多少抛射距离最远等，希望大家有所收获。