最小二乘法
早在1766年,德国有一位名叫约翰·提丢斯(Johann Daniel Titius)的中学教师提出,诸行星与太阳的平均距离非常接近于用下式表示的简单关系:A=4+(2^n×3),此处n的值依次取-∞、0,1,2,3,等等。这样就产生了一个数列:4,7,10,16,28,52,100…它与水星、金星、地球、火 星、木星以及土星到太阳的相对距离相吻合。
(0+4)/10=0.4;
(3+4)/10=0.7;
(6+4)/10=1.0
(12+4)/10=1.6;
(24+4)/10=2.8;
(48+4)/10=5.2
(96+4)/10=10
(192+4)/10=19.6
...
1781年,英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上(即数列中的第八项)发现了天王星,从此,人们就对这一定则深信不疑了。根据这一定则,在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星,但是它尚未被找到。
提丢斯和波得从当时已知的行星轨道半径资料,总结出了如下的规律,即行星离太阳的平均距离的10倍(天文单位)是4+2n×3,其中n为非负整数。它被称作“提丢斯——波得定律”。
水星 a·10=0.387×10=3.87≈ 4;
金星 a·10=0.723×10=7.23≈7=4+2^0×3;
地球 a·10=1.0×10=10=4+2^1×3;
火星 a·10=1.523×10=15.23 ≈ 16=4+2^2×3;
木星 a·10=5.203×10=52.03 ≈ 52=4+2^4×3;
土星 a·10=9.52×10=95.2 ≈ l00=4+2^5×3;
天王星 a·10=92 ≈196=4+2^6×3;
海王星 a·10=30.2×10=302≈388=4+2^7×3。
海王星和太阳的平均距离的10倍为302,若以388近似表示,则这说明天王星、海王星的位置也都符合提丢斯——波得定律的。
问题来了:天文学家很早就发觉火星和木星的轨道间距太大,难道被狗吃了吗(缺少4+2的3次方×3这个轨道),为这庞大的间隙感到烦恼不已,开普勒推测此间距内应当有一颗未知的行星。天文学家认为在火星和木星之间应该还有行星没有被发现,根据提丢斯——波得定律推测,在木星与火星之间可能存在一颗行星。
他们为此已经忙碌了20多年,一直在寻找这之间的星星……答案充满负能量,没找到。
1801年1月1日,意大利天文学家皮亚齐从望远镜里发现了一颗非常小的星星,正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上。他确认发现了这颗行星,这就是谷神星(Ceres),它是太阳系中最小的、也是唯一位于小行星带的矮行星。
可是,当皮亚齐计划进一步观察这颗小行星的关键时刻,他却倒霉地病倒了。
等到他康复后再想寻找这颗小行星时,却不知所踪……这种结果显然不能被认可,因为没能计算出其准确轨道,所以还是充满负能量……
时年24岁的德国数学家高斯,参与到这颗行星的发现过程中,他深知数学对于天文学的重要作用,这句话有没有一种BAT级别企业跨界合作重金砸向某领域开始降维打击的感觉,好像有一点……
在前人的观测和计算基础上,高斯创立了一种崭新的行星轨道计算理论。他根据皮亚齐的观测资料,利用这种方法,只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状,并指出它将于何时出现在哪一片天空里。
1801年12月31日夜,当时的德国天文爱好者奥伯斯(他最初真的仅是一个爱好者),在高斯算出其轨道之后重新发现了这颗行星。他又于1802年发现了小行星智神星、于1804年发现了小行星灶神星。
高斯因为此事名声大震,但他却拒绝透露计算小行星轨道的办法(猜测可能是他尚未有效证明这种方法,这种学术人都是相当谨慎的)。
拿起手机,拜一拜高斯爷,然后再往下看
8年后,直到高斯系统地完善了相关的数学理论,才将他的方法公布于众,这就是“最小二乘法”(Least squares method)。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。最小二乘法原理是高斯对于数学的杰出贡献。
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