利用模型构建辅助线
知识点:全等三角形+等腰三角形 模型:一线三等角模型(3)
今天我们来拆解一道压轴题,我们只讨论第2问,它包含一线三等角模型。
题目如图1,第2问解答如图2、3、4。此处给出两种解法,接下来,我们说一说如何运用模型构建解题思路。
首先,对图形要有敏感度,我们看图形状就是一线三等角结构,再识别出关键信息:C、B、F共线,三角形ABC和三角形DEF全等。
其次,理出模型相关条件:
①EB垂直BA
②EB=BA
③三角形BEF全等于三角形ABC
④EF+AC=FC
那我们就可以从两个角度来构建思路。
方法一:利用一线三垂直,③推出①②,三角形EBA为等腰直角三角形。我们考虑在三角形EBA内建立桥梁,转换边和角。这时候发现连接BM,则有BM=EM=MA,可以证三角形EFM全等于三角形BCM,进而解决问题。
此方法核心思路:证EBA为等腰直角三角形,证三角形EFM全等于三角形BCM
方法二:利用一线三垂直,③推出④,通过延长CA和FM交于点N,构造三角形EFM全等于三角形ANM,同时构造出等腰直角三角形FCN。此方法需要注意的是辅助线如何交代。因为也可以把FM倍长(倍长中线法)之后得到MN,但是这里不建议写倍长,因为那样我们连接AN之后,还要说明C、A、N三点共线,会比较麻烦,不如直接延长相交,证明EF和CN平行,再证全等。
此方法核心思路:证三角形EFM全等于三角形ANM,证三角形FCN为等腰直角三角形。
明天我们将一起看一线三等角模型的一般形式(非直角)。
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