数学专家张鹤老师——关于函数性质教学的思考

何谓函数性质？从函数概念的角度理解，就是当函数的自变量x满足某种规律的变化引起函数值y的有规律变化.

如对于函数的对称性质的理解，我们关注比较多的是函数图象关于直线x=a或关于点（a,b）成中心对称，但这实际上只是函数对称性质的图象特征，是函数性质的直观表达.函数对称性质的本质应该是它的代数特征，即这个对称性质应该是从函数的自变量的变化特点以及相对应的函数值的变化规律来进行刻画的：具有对称性的函数取和为2a的两个自变量的值的时候，其对应的两个函数值要么相等、要么其对应的两个函数值的和为2b.这是一个函数关于某条直线或某个点对称的最本质的描述，也是要在我们的教学中能够让学生理解的.

只有明确了函数对称性的本质，也就是明确了它的代数特征，我们才能够准确地运用数学符号语言表达出函数的这种对称性.即根据函数的两个自变量其和为常数2a的特点可以表示为x和2a-x，再根据其对应的因变量的变化规律，就可以用数学符号语言表达出函数的这种对称性了：f(x)=f(2a-x)或f(x)+f(2a-x)=2b.函数对称性质的图象特征是根据上述数学符号所表达的等式从几何的角度理解而得到的.如f(x)=f(2a-x)告诉我们，当取以a为中点的两个点的横坐标所对应的自变量时，对应的纵坐标（也就是因变量）相等.这个特征反映在几何上就是函数的图象关于直线x=a对称.同样，f(x)+f(2a-x)=2b意味着当取以a为中点的两个点的横坐标所对应的自变量时，对应的纵坐标（也就是函数值）的和为2b，也就是对应的两个点的纵坐标是以b为中点纵坐标.因此，满足这个等式的函数图象关于点（a,b）为中心对称.


可以看出，函数性质的代数特征是最本质的，它决定了如何用数学的符号语言来表达出函数的这种对称性，而函数图象的几何特征是由其代数特征所决定的，并通过理解数学的符号语言所表达出来的代数特征而得到的.换句话说，当学生在写出类似f(x)=f(2a-x)或f(x)+f(2a-x)=2b这样的数学符号语言所表示的等式的时候，他（她）首先在自己的思维中是经历了函数对称性质的代数特征的思考.同样，只有当他（她）能够从用数学的符号语言所表达的等式中读出函数的代数特征，也才能够从中得到函数图象的几何特征.

研究函数性质的逻辑顺序是怎样的？先讲函数的单调性，再讲函数的奇偶性，这种研究函数性质的顺序是有逻辑问题的.的确，函数的整体变化状态的研究非常重要.但是，如果这个函数具有对称性质的话是可以使这种性质的研究简化一半的.换言之.函数的对称性也是函数变化状态的一部分，相对每个区间上的函数单调性的变化更具有整体性.因此先研究函数的对称性再研究函数的单调性，进而研究它的周期性及函数值的分布等等，这种顺序更符合逻辑.当然，函数的周期性与函数的对称性与单调性没有必然的逻辑关系，对于函数周期性的研究相对而言不受其它性质研究与否的约束.


在我们的函数教学中，老师们在引领学生针对某一个具体函数进行研究的时候，定义域、值域总是相伴在一起让学生说出来，可是细想一下，对于函数单调性还没有进行研究的情况下，怎么会得到函数的极大（小）值，进而得到最大（小）值，从而得到值域呢？这个顺序显然也是不符合知识的逻辑的.

画函数的示意图要比用描点法画图的价值重要.对于基本的函数图象我们更多的是使用描点法，特别是在函数学习的初始阶段运用描点法画函数的图象.这一方面是因为描点法可以让学生通过列表描点的过程感受函数的自变量与因变量之间的这种对应关系，另一方面也是因为受学生还没有完全掌握函数性质的局限.而函数的示意图是依据函数性质画出来的，它不是函数的真实图象，也谈不上是否接近函数的真实图象.但它直观地表达了函数的性质，运用函数的示意图足以帮助我们直观地接近函数的本质.画出函数示意图的教学价值体现在由于这个图依赖于函数性质的研究，而函数性质的研究是函数教学最为重要的任务.因此.随着学习的不断深入，教师应该引导学生学会研究函数性质，运用性质画出函数的图象.只有这样才能够真正地提高学生的数学思维能力与研究问题的能力.

总之,在函数性质的教学中，教师要充分重视对函数解析式的研究，要运用函数的思维去理解分析依托于函数解析式的自变量x与因变量y的关系，从而进一步深入理解函数性质的本质，这也正是教给学生研究函数解析式的意义价值所在.