(作者:刘岳老师)
据说在广大数学系同学的教材中,证明题被分为了两大类:
(1)这t(题)m(目)也用证?
(2)这t(题)m(目)也能证?
而今天的问题,可能还要特殊一点,你可以说它属于第一类,若是归属于第二类好像也毫无违和感,是的,说的就是我们小学就知道的加法交换律:a+b=b+a。
当然,它又不是公理,况且,并不是每一种运算都满足交换律,比如减法就不行,a-b和b-a并不是总相等的,a÷b和b÷a往往也是两回事,解释这一点很简单,对于a+b而言,其中的a和b都叫做加数,但是对于a-b,一个叫减数,一个叫被减数,当然不能随意交换。
接下来关于这个等式的证明,或许我们会有一些这样那样的想法,比如,通过移项两边加加减减。
当然不可能这么简单了。
做证明题一定要清楚一点,我们有什么?
对这个问题无从下手的一个主要因素就是,这题没给条件啊!其实也不是没给,是默认我们都知道了,比如
(1)什么是a、b(这里代指自然数);
(2)什么叫加法。
我们确实知道,只不过我们熟悉的并不能解决这个问题。
什么叫自然数?
像0、1、2、3……这样的数叫自然数,这是我们小学就知道的定义,这个定义能帮助孩子们理解、辨别自然数,至于严谨不严谨的,这不在小学考虑的范畴。
但对于我们这个问题,什么叫自然数就很重要了。
对于一些数学基础定义,我们下定义的方式从来都不是“它是什么”,我们不曾讨论过“1是什么?”、“1真实存在吗”等等,我们只会描述“1”可以用来做什么,比如“我在马路边捡到1元钱”、“这次考试我考了班级第1,倒数的”。
明确我们想要它来干什么,再用公理来规范它,即所谓的公理化,至于它本身有没有意义之类的,who care。
我们想要自然数实现什么?
(1)基数功能:表示数量;
(2)序数功能:表示顺序;
(3)运算功能:如果1+2不能得到3的话,那么1+2与a+b又有什么区别?
原始人结绳计数
通用的定义自然数的公理是皮亚诺(Peano)公理,以下内容参考《陶哲轩实分析》一书,关于皮亚诺公理作简单介绍。
陶哲轩实分析
首先我们想要的自然数是指一类数,彼此之间也是有关系的,我们需要两个基础概念:数0和增长运算,由0开始增长得到后面的其他的自然数,我们用n++来表示n后面的数,称为数n的“后继”,比如0++=1,(0++)++=2等等。
公理1:0是自然数。
关于0到底是不是自然数,本文就不讨论了。数学是基于公理体系下的符号游戏,只要不引起矛盾或纠纷,这个说法便是ok的。
公理2:若n是自然数,则n++也是自然数。
我们可以理解自然数集是0,0++,(0++)++,((0++)++)++……这么一串数,只是为了书写方便,我们改为了0,1,2,3,4……
好像对于描述自然数,以上两条就够了,但我们还需更明确一些,关于每个数的后继。
用过这种计算器的应该会知道,如果算出的数结果很大,会显示归零。
同样对于自然数集,我们需要:
公理3:0不是任何自然数的后继,即对于任意自然数n,都有n++≠0。
规避掉归零的情况还不够,我们还需要保证,后面数的后继也不会归1、归2等等,比如4++≠1,4++≠2……
公理4:不同的自然数有不同的后继。若m、n是自然数且m≠n,则m++≠n++,等价地说,若m++=n++,必有m=n。
对于自然数已经比较规范了,但对于运算来说还差点意思。
公理5:(数学归纳原理)
设P(n)是关于自然的是一个性质,假设P(0)是真的,并假设只要P(n)是真的,则P(n++)也是真的。那么对于每个自然数n,P(n)都是真的。
就好比当我们有了1+1=2,便可得到2+1=3,3+1=4……
对于自然数,我们想要的是具有一般性的结论,而这一点需要数学归纳来完成。
自然数
自然数:存在一个数系N,称其元素为自然数,公理1—5对此数系成立。
皮亚诺
假装解决了第一个问题:什么是自然数。接下来该说说什么是加法了。
在前面我们提过自然数的一个基本运算:增长,表现了自然数之间的关联,在此基础上来建立加法运算。
加法:设m是自然数,定义:0+m=m。假定已经定义好如何使n加上m,那么定义(n++)加上m为(n++)+m=(n+m)++。
比如当定义1+3=4时,那么2+3=(1+3)++=4++=5,3+3=(2+3)++=5++=6……
这还不够,m+0=m吗?以及n+(m++)=(n+m)++吗?这些我们还都不知道呢,我们也希望同样由1+3=4能得到1+4=5。
证明1:对自然数m,m+0=m。
已知0+m=m但并不能由此直接得出m+0=m,我们还并不知道加法交换律这么回事。
公理告诉我们这里我们可以用的方法是数学归纳,
根据0+m=m以及0是自然数,可得:0+0=0
现假定n+0=n,根据加法定义,
那么(n++)+0=(n+0)++=n++
所以对任意自然数m,均有m+0=m。
证明2:对任意自然数n和m,n+(m++)=(n+m)++
依然数学归纳法
对n进行归纳,当n=0时,
0+(m++)=(0+m)++
假定n+(m++)=(n+m)++,
接下来证(n++)+(m++)=((n++)+m)++。
左式=(n+(m++))++=((n+m)++)++
右式=((n+m)++)++
故左式=右式。
准备工作做好了,剩下的任务就简单了。
假装理解了题目给我们暗示的两个条件:
(1)什么叫自然数;
(2)什么是加法。
是时候证明加法交换律了。
加法交换律:对于自然数n和m,n+m=m+n。
证明:对n进行归纳,
首先考虑当n=0时,0+m=m,m+0=m,故0+m=m+0成立,
假定n+m=m+n成立,下证:(n++)+m=m+(n++)
根据加法定义:(n++)+m=(n+m)++
根据证明2:m+(n++)=(m+n)++
根据假定:(m+n)++=(n+m)++
故(n++)+m=m+(n++)
于是对任意自然数n、m,均有n+m=m+n。
我问佛,了解这玩意有什么意义?
佛说,你已经做了这么多无意义的事,又何必多在意这一件?
我不禁泪流满面
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