复数与三角函数恒等式的证明

单位圆上的复数既可以表示成三角函数和的形式，也可以表示成复指数的形式。一般地 ，有以下公式：

因为指数具有极好的运算性质，可以将乘除法转化为加减法，幂次方根转换为乘除法，于是关于三角函数的一些恒等式，可以先转化为复数，然后利用复数的运算性质得到极其简单迅速的证明。

需要用到的公式如下：

前面比较简单，老生常谈。可直接跳到最后，也许有些许帮助。

0.三角函数的诱导公式

奇变偶不变，符号看象限。没啥好说的。

1.三角函数的倍角公式

二倍角公式：

令n=2,得

另一方面，

比较虚部实部，立得：

三倍角公式：

令n=3,得

另一方面，

比较虚部实部，立得：

四倍角，五倍角公式等等思路一样。

半角公式是倍角公式的逆运算，不再赘述。

2.两角和差公式

首先

另一方面

比较实部虚部，立得

两角差一样。

3.三角函数的和差化积

考虑

对左边，有

比较实部虚部，立得

4.三角函数的积化和差

根据和差化积的结果，把式子从右往左看，就是积化和差

5.三角函数的等差角求和公式

计算：

考虑等比数列

根据求和公式，有上式

比较实部虚部，立得

6.带高阶幂次的恒等式

需要一定的技巧，灵活运用三角函数与复指数函数的转化关系。

一道简单的题目体会一下：

证明如下恒等式

从右往左的话，简单地说，只要全用多倍角公式展开即可。

显然，有点麻烦。

不妨从左往右：

为了表达方便，记

于是左边=

灵活运用平方差公式，很容易就得到了结果。而且本题是证明题，右边的表达式已经暗示你怎样拆分和合并幂次了。