数量关系中的简单函数

I.一次函数

一般地，形如y=kx+b（k≠0，k,b是常数），那么y叫做x的一次函数，其中x称为自变量，y称为因变量，k称为比例系数，b称为常数。其图像为直线，直线的斜率为k，与y轴交点为(0,b)。

当b=0时，y=kx即自变量和因变量成正比例，称为正比例函数。图像为过原点的直线。

II.二次函数

一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中x为自变量，y为因变量，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。其图像是轴对称的抛物线，对称轴为直线x = -2a(

b

)，顶点坐标(-2a(

b

),4a(

4ac-b2

))。当x = -2a(

b

)时，y对应最大值(a<0)或最小值(a>0)。

基于二次函数图像具有最高点或最低点的特征，可利用二次函数解决部分极限问题。

【例】4辆车运送货物，每辆车可运16次；7辆车运送，每辆车只能运送10次。设增加的车辆数与运送减少的次数成正比，且每辆车次运送货物量相等，运送货物总量最多是多少车次？

A.72 B.74

C.64 D.68

解析：设增加x辆车时，相应减少车次为y，增加的车辆数与运送减少的次数成正比，则y(

x

)= 16-10(

7-4

)= 2(

1

)即y=2x。此时运送货物总量为(4+x)(16-2x)=-2x2+8x+64为二次函数且当x = -2a(

b

)=--2×2(

8

)=2时有最大值72，故答案为A。

III.分段函数

对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

分段函数主要应用于解决分段计价类问题。

【例】某停车场按以下办法收取停车费：每4小时收5元，不足4小时按5元收，每晚超过零时加收5元，并且每天上午8点重新开始计时。某天下午15时小王将车停入该停车场，取车时缴纳停车费65元。小王停车时间t约为（ ）。

A.32<t≤36小时 B.37<t≤41小时

C.41<t≤44小时 D.44<t≤48小时

解析：15:00至次日8:00经过17=4×4+1小时，收费5×5=25元，过零点再加收5元，共计30元；次日8:00至第三日4:00经过20=4×5小时，收费5×5=25元，过零点再加收5元，共计30元；截止第三日4:00经过37小时，收费60元；因为65-60=5，每天上午8点重新开始计时，则小王取车时间在第三日4:00至8:00间取车，缴费65元，故答案为B。

华图教育 王品乐