这是《机器学习中的数学基础》系列中的第10篇,也是微积分系列的第3篇。
我们经常要求函数的导数,烦恼于那些公式记不住,今天就让我们用面积法来求出函数的导数。话不多说,先来看第一个函数y=x²,怎么用面积来求导呢?
我们先画一个正方形,它的边长是x,则正方形的面积就是x²,如下图:
别忘了导数的定义,自变量x增加一个微小的量dx,看函数的变化率是多少,这里也就是看正方形面积的变化率是多少。我们再画一个图来表示:
上图中蓝色线围起来的面积就是正方形增加的面积dy,不难算出,dy=2xdx+(dx)²。当dx取很小的值时,dy=2xdx。两边同时除以dx,得到dy/dx=2x。这就是我们要求的y=x²的导数。
好,看完上面简单的一个例子,我们再来看一个函数:y=1/x。它的导数怎么用面积法来求呢?
看上去很复杂,但是别慌,我们先观察y和x的关系,我们发现x*y=x*(1/x)=1,也就是说自变量x和因变量y的乘积永远等于1。那我们就可以构造一个长方形,让它的长为x,宽为y,面积始终是1,如下图:
现在我们给x增加一个微小的量dx,看看面积会发生什么变化:
如上图,当x增加了dx时,因为整个长方形的面积是1,宽必须被压缩,也就是说y是在减小的,我们要求的就是y的变换量,也就说上图中问号的长度。
怎么求呢?不难看出,因为长方形的面积始终是1,变化后的长方形的宽为1/(x+dx)。因此,问号处的长度就是原来长方形的宽1/x减去现在长方形的宽1/(x+dx),即
1/x-1/(x+dx)=dx/x(x+dx)。
别忘了导数的定义是变化率,我们用这个变化量除以dx,得到1/x(x+dx)。当dx趋近于0时,可以认为变化率就是1/x²。但是还有一点注意,当x增加时,y是减小的,所以要在变化率前加一个负号,即-1/x²。因此,y=1/x的导数就是-1/x²。是不是感觉很酷呢?
让我们继续前行,看最后一个例子,y=sin(x)的导数又该怎么求呢?
稳住,别慌。我们先画一个单位圆:
如上图,是一个半径为1的单位圆。我们已知,在弧度制下,弧长公式为l=r*x。其中r为圆的半径,x是弧度。因此,函数y=sinx体现在单位圆中,自变量就是弧长x,因变量y就是线段AB的长度。现在我们给x增加一个微小变量dx,看看y是如何变化的,如下图:
如图,我们给dx增加了一个微小量dx,也就是弧长EF,那么y的变化就是垂直方向的线段ED。我们要求的导数,也就是dy/dx,也就是ED/EF。当dx很小时,弧长EF可以看成线段EF,而且有EF⊥OF。因此,不难看出∠FED就等于x(弧度),而ED/EF=cos∠FED。所以我们有dy/dx=cosx,也就是说函数y=sinx的导数就是cosx。
这就是今天的全部内容,你都明白了吗?欢迎留言讨论。
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