二项分布与超几何分布的联系与区别

经常有学生问二项分布与超几何分布到底怎么区分，是利用二项分布的公式去解决这道概率题目，还是利用超几何分布公式解决呢?

好多学生查阅参考书寻找答案，其实这个问题的回答就出现在教材上, 北师大版新课标教材选修2-3从两个方面给出了很好的解释.

一 、两者的定义是不同的

教材中的定义：

1.超几何分布

2.独立重复试验与二项分布

本质区别：

(1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.

(2) 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.

二、两者之间是有联系的

从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.

下面看相关例题

例1．（2016·漯河模拟）寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”.

注：先不要急于看答案，大家先自己解一下这道题再往下看，会有意想不到的收获哦！

[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题, 按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出：“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.

柳暗花明又一村

从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：

总结

综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

高考解题中，我们还是要分清超几何分布与二项分布的区别，以便能正确的解题，拿到满分！