每天一点土力学（17）：二维渗流及应用

拉普拉斯

对于边界条件简单的一维渗流问题，可直接利用达西定律进行渗流计算。 但工程中遇到的渗流问题，常常属于边界条件复杂一些的二维或三维渗流问题。 例如闸坝下透水地基的渗流以及土坝坝身的渗流等（图 a），其流线都是弯曲的，不能再视为一维渗流。 为了求解和评价渗流在地基或坝体中是否造成有害的影响，需要知道整个渗流场中各处的测管水头、渗流坡降和渗流速度。

著名的拉普拉斯（Laplace）方程。 它与水力学中的平面势流的拉普拉斯方程一样，该方程描述了渗流场内部的测压管水头 h 的分布，是平面稳定渗流的基本方程式。 通过求解一定边界条件下的拉普拉斯方程，即可求得该条件下的渗流场。

流网的特征与绘制

上述拉普拉斯方程表明，渗流场内任一点水头是其坐标的函数，知道了水头分布，即可确定渗流场的其他特征。 求解拉普拉斯方程一般有 ４ 类方法，即数学解析法、数值解法、电模拟法、图解法。 其中图解法简便、快速，在工程中实用性强，因此，这里简要介绍图解法。 所谓图解法即用绘制流网的方法求解拉普拉斯方程的近似解。

１）流网的特征

流网是由流线和等势线所组成的曲线正交网格。 在稳定渗流场中，流线表示水质点的流动路线，流线上任一点的切线方向就是流速矢量的方向。 等势线是渗流场中势能或水头的等值线。

流网的绘制

如图所示为板桩墙围堰的流网图。 图中实线为流线，虚线为等势线。对于各向同性渗流介质，由水力学可知，流网具有

下列特征：

①流线与等势线互相正交；

②流线与等势线构成的各个网格的长宽比为常数，当长宽比为 １ 时，网格为曲线正方形，这也是最常见的一种流网；

③相邻等势线之间的水头损失相等；

④各个流槽的渗流量相等。

由这些特征可进一步知道，流网中等势线越密的部位，水力梯度越大，流线越密的部位流速

越大。

流网的工程应用

根据流网，就可以直观地获得渗流特性的总体轮廓，并可定量求得渗流场中各点的测管水头、水力坡降、渗流速度和渗流量。

１）测管水头

根据流网的特征可知，任意两相邻等势线间的势能差相等，即水头损失相等，从而相邻两条等势线之间的水头损失 Δh 为：

２）孔隙水压力

渗流场中各点的孔隙水压力，等于该点以上测压管中的水柱高度 h ｕ 乘以水的容重 γ ｗ ，故 a点的孔隙水压力为：

３）水力坡降

流网中任意网格的平均水力坡降 ，Δl 为该网格处流线的平均长度，可从图中量出。由此可知，流网中网格越密处，其水力坡降越大。

４）渗流速度

各点的水力坡降已知后，渗流速度的大小可根据达西定律求出，即 v ＝ki，其方向为流线的

切线方向。

５）渗透流量

流网中任意两相邻流线间的单宽流量 Δq 是相等的，通过坝底的总渗流量：

此外，还可通过流网上的等势线求解作用于坝底上的渗透压力.