本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．
考点分析：
等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形．
题干分析：
（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB的长度；
（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP＝CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；
（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B＝∠APB＝∠BAP＝45°，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．
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