数学专家张鹤老师——《勾股定理》是解决什么问题的呢？

表面看,这个定理给出了直角三角形的三条边的数量关系，但本质上是解决了直角三角形边与角关系的问题.在其数量关系中，尽管看不到直角，那是因为90°角的余弦值为0的缘故.因此，勾股定理这节课不仅是让学生明确：在直角三角形中，两条直角边的平方等于斜边的平方，而且还要让学生知道这个定理是刻画直角三角形的边角之间关系的.在学生的后续学习中，他们将会看到：在一般的三角形中，边与角的关系都是可以用代数的形式来刻画的，就是高中要学习的“正弦定理”与“余弦定理”. “正弦定理”刻画的是一个三角形中，对应的边、角的正弦的数量关系; “余弦定理”表达的是三角形的任意一个内角的余弦与三边的数量关系.因此，《勾股定理》的本质就是刻画了直角与三条边的数量关系


首师大附中张彩萍老师所做的区级研究课《勾股定理》为全区初二数学教师展示了她对这节课的理解与探索,为研究《勾股定理》的教学提供了一个鲜活的样例.

在课堂的引入环节，张老师从“我们是如何研究三角形”开始了与学生的思维活动.她引导学生回顾了如何从边、角两个角度研究一般的三角形，并和学生一起提炼出：在这些研究中，有单纯刻画三角形边之间不等关系的“两边之和大于第三边”，也有仅仅和角有关的“三角形内角和定理”.

从等腰三角形的 “等边对等角”、等边三角形的“三边相等、三个角为60°”，很自然地提出：在三角形中，边角之间是不是也会存在某种确定的数量关系呢？

等腰直角三角形的两条直角边如果为1则斜边为根号2;在直角三角形中，如果两条边是确定的（两条直角边或一条直角边与一条斜边），则直角三角形的形状是确定的吗？学生们从直角三角形全等的判定定理得到肯定的答案.这些都说明了什么问题呢？学生们在张老师的启发下明确：在直角三角形中，正是直角的存在，其三条边一定存在某种特定的数量关系.那么，这个数量关系是什么呢？“大家都听说过著名的勾股定理吧：”.张老师就这样很自然地提出了本节课的课题及定理本身.

这段教学的价值是什么呢？我认为这是在梳理本节课的知识逻辑:

一个方面是在找这节课与前后知识的逻辑关系：学生们对于前面有关三角形的研究中都在研究什么有了一个思维层面的梳理，也就为本节课研究直角三角形的直角与三边关系找到了知识发生发展的逻辑主线，并且为学生今后升入高中将要学习正弦定理、余弦定理埋下了伏笔;

另一个方面，就是在与学科找逻辑关系：《勾股定理》所处的学科是平面几何，这门学科的思维特征与研究方法就是本节课的思维特征与研究方法.因此，如何理解图形？如何研究图形？在这段教学中，通过回顾前一阶段对三角形的研究对此做了符合学科特点的提炼与概括，为本节课的《勾股定理》的研究打下了一个思维的基础.