六年级奥数：已知整体求局部

案例

如图1，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E是BC边上的中点。连接CD和AE两条线段，将三角形ABC分为了四个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这四个部分的面积分别是多少？

　　显然要想直接孤立地求出每一个部分的面积是不可能的，必须把各个部分联系起来进行观察。

　　

ACD、CDB、ACE和AEB。由于三角形AEB和CDB的面积都是1/2，同时去掉它们的公共部分ODBE就可以知道三角形OCE和AOD的面积相等。这时的关键问题在于建立四边形ODBE与这两个三角形之间的关系，我们可以连接OB画出一条辅助线，如图2：

　　利用“等底等高的三角形面积相等”这一结论立刻知道三角形AOD和OBD面积相等，三角形OCE和OEB面积相等。又由于三角形OCE和AOD面积相等，所以AOD、OBD、OEB和OCE这四个三角形面积相等，而且其中三个的面积之和1/2，因此现在就可以求出三角形AOD和OCE的面积分别为：

　　

　　四边形ODBE的面积为：

　　

　　进而就可以求出三角形ACO的面积为：

　　

　　至此四个部分的面积就都求出来了。

通过解决这个问题可以发现，为了找到局部与整体之间的关系，往往需要先发现局部与局部之间的关系。另外，解题中我们用到了一个重要结论，就是“等底等高的三角形面积相等”，这个结论我们后面还要经常用到。我们还可以把这个结论稍微推广一点，就是“如果两个三角形的高相等，那么面积之间的比例关系与底边之间的比例关系是相同的”。