1. 设2n+1是质数,证明:12,22,…,n2被2n+1除所得的余数各不相同. 【解析】 分析这道题肯定不可能通过各数被2n+1除去求余数.那么我们可以考虑从反面入手,假设存在两个相同的余数的话,就会发生矛盾.而中间的推导是步步有根据的,所以发生矛盾的原因是假设不合理.从而说明假设不成立,因此原来的结论是正确的. 证明:假设有两个数a、b,(a≠b,设b<> 那么,由同余定义得a2-b2≡0(mod(2n+1)). 即(a+b)(a-b)≡0(mod(2n+1)),由于2n+1是质数. ∴a+b≡0(mod(2n+1))或a-b≡0(mod(2n+1)). 由于a+b,a-b均小于2n+1且大于零,可知,a+b与2n+1互质,a-b也与2n+1互质.即a+b与a-b都不能被2n+1整除.产生矛盾,∴原题得证. 说明:这里用到一个重要的事实:如果A·B≡0(modp),p是质数,那么A或B中至少有一个模p为零.p是质数这一条件不能少,否则不能成立。例如2·3≡0(mod6),但2、3被6除余数不为0。 2. 某商店进了一批笔记本,按 30%的利润定价.当售出这批笔记本的 80%后,为了尽早销完,商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少? 【解析】 设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是 1×(1+0%)=1.3.其中 80%的卖价是 1.3×80%, 20%的卖价是 1.3÷2×20%. 因此全部卖价是 1.3×80% +1.3 ÷ 2×20%= 1.17. 实际获得利润的百分数是 1.17-1= 0.17=17%. 答:这批笔记本商店实际获得利润是 17%. 3 有一种商品,甲店进货价(成本)比乙店进货价便宜 10%.甲店按 20%的利润来定价,乙店按 15%的利润来定价,甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元? 【解析】 设乙店的进货价是“1”,甲店的进货价就是0.9. 乙店的定价是 1×(1+ 15%),甲店的定价就是 0.9×(1+20%). 因此乙店的进货价是 11.2÷(1.15- 0.9×1.2)=160(元). 甲店的进货价是 160× 0.9= 144(元). 答:甲店的进货价是144元. 设乙店进货价是1,比设甲店进货价是1,计算要方便些. 4.开明出版社出版的某种书,今年每册书的成本比去年增加 10%,但是仍保持原售价,因此每本利润下降了40%,那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少? 【解析】 设去年的利润是“1”. 利润下降了40%,转变成去年成本的 10%,因此去年成本是 40%÷10%= 4. 在售价中,去年成本占 因此今年占 80%×(1+10%)= 88%. 答:今年书的成本在售价中占88%. 因为是利润的变化,所以设去年利润是1,便于衡量,使计算较简捷. 5 一批商品,按期望获得 50%的利润来定价.结果只销掉 70%的商品.为尽早销掉剩下的商品,商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润,是原来的期望利润的82%,问:打了多少折扣? 【解析】 设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5. 现在出售 70%商品已获得利润 0.5×70%= 0.35. 剩下的 30%商品将要获得利润 0.5×82%-0.35=0.06. 因此这剩下30%商品的售价是 1×30%+ 0.06= 0.36. 原来定价是 1×30%×(1+50%)=0.45. 因此所打的折扣百分数是 0.36÷0.45=80%. 答:剩下商品打8折出售.
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