年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．
1．设实数
满足
，则
的取值范围是______．
2．设复数
满足
，
，其中
是虚数单位，
分别表示
的共轭复数，则
的模为_______．
3．正实数
均不等于
，若
，
，则
的值为______．
4．袋子
中装有
张
元纸币和
张
元纸币，袋子
中装有
张
元纸币和
张
元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则
中剩下的纸币面值之和大于
中剩下的纸币面值之和的概率为_______．
5．设
为圆锥的顶点，
是其底面圆周上的三点，满足
，
为
的中点．若
，
，
，则二面角
的大小为_______．
6．设函数
，其中
是一个正整数．若对任意实数
，均有
，则
的最小值为_________．
7．双曲线
的方程为
，左、右焦点分别为
，过点
作一直线与双曲线
的右半支交于点
，使得
，则
的内切圆半径是______．
8．设
是
中的
个互不相同的数，满足
则这样的序列数组
的个数为_______．
二、解答题：本大题共小题，分．
9．（本题满分16分）在 中，已知 ．求 的最大值．
10．（本题满分20分）已知 是 上的奇函数，，且对任意 ，均有 ．求 的值．
11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系 中， 是 轴正半轴上的一个动点，以 为焦点、 为顶点作抛物线 ，设 是第一象限内 上 的一点， 是 轴负半轴上一点，使得 为 的切线，且 ，圆 均与直线 相切于点 ，且均与 轴相切，求点 的坐标，使圆 与 的面积之和取到最小值．
年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
一、（本题满分40分）设实数
满足
．求
的最大值．
二、（本题满分40分）如图所示，在
中，
是直线
上两点（
顺次排列），使得
设
的外心分别为
，直线
与
分别交于点
．证明：
是等腰三角形．
三、（本题满分50分）给定空间中
个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值．
四、（本题满分50分）设
与
均是素数，
．数列
定义为
这里
表示不小于实数
的最小整数．证明：对
均有
成立．
参考答案
说明 本解答由【光子问答】中的耿耿，意琦行，meiyun，琪琪1509提供，由意琦行整理．
一试
1．
．
由
，可得
，于是原不等式即
解得
的取值范围是
．
2．
．
根据已知，有
于是
于是
于是所求复数的模为
．
3．
．
令
，
，则
，条件变为
从而解得
．
4．
．
符合题意的情形只有
取走
张
元纸币，
取走
张
元纸币或取走
张
元纸币和
张
元纸币，因此所求的概率为
5．
．
如图，设
在底面
上的投影为
，过
作
于点
，则
为所求二面角的平面角．
于是
从而所求二面角的大小为
．
6．
．
根据已知，有
题意为任取函数
图象上在
轴上投影长度为
的一段(不包含端点)都能同时覆盖函数
的最大值点和最小值点，于是其最小正周期小于
，从而
的最小值为
注 如果把“对任意实数
”改为“存在实数
”，那么题意即
的最小正周期小于
．
7．
．
如图，
，
．
于是
的内切圆的半径
8．
．
由柯西不等式的取等条件可知
，于是问题即从
中选出
个不同的数组成的等比数列的个数．不难推知
必然形如
其中
均为正整数，且
．考虑
的情形，此时所有的
有
对应的等比数列个数之和为
因此所求的有序数组
共有
个．
9．统一起点，有
即
也即
等号当
时取得．因此
的最小值为
，对应
的最大值为
．
10．令
，
，则
于是有
记
，
，则有
，从而
于是所求代数式即
11．如图，设抛物线方程为
，焦点
，连接
，
．
设
，则根据抛物线的光学性质，
，于是
，进而由
，可得
即
圆心
都在过点
且与
垂直的直线
上，设直线
的参数方程为
根据题意，
对应的参数满足
即
因此圆
的面积
与圆
的面积
之和
等号当
，即
时取得．此时
于是
点的坐标为
．
加试
一、令原式为
．由于
，
，因此只需要考虑当
的情况，记
，则
等号当
时取得．因此
的最大值为
．
二、如图，设圆
与圆
的公共弦为
，
交
于
．
由于
为两圆的根轴，于是
点对圆
和圆
的幂相等，从而
进而结合合分比定理有
又由已知，有
，于是有
，从而
是
的角平分线．
又
，于是
关于直线
对称，因此
是等腰三角形．
三、记这
个点分别为
且从
点引出了
条线段，其中
．这样图形中总共包含
条线段和
个角．根据题意，图形中没有空间四边形，因此任何一个角都与一个点对
一一对应，且不存在线段
．这样就有
于是所连线段数目
接下来构造包含
条线段的图形，此时从每个顶点出发的线段数均为
，如图．
四、首先注意，
是整数数列．
对
用数学归纳法．当
时，由条件知
，故
．因
与
均是素数，且
，故必须
．因此
，即
时结论成立．
对
，设对
成立，此时
，故
故对
，有
因此
由此知（注意
是整数）
因
，
为素数，故
，又
是大于
的素数，故
，从而
与
互素．故由(1)知
．由数学归纳法知，本题得证．
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